数列求和高考例题,数列求和高考例题及答案

1.高考数列裂项求和

2.1到n的平方和数列求和

3.高考 数列列项求和法 常见的裂项方法

4.高考数列大题求解

5.高考的数学题谢谢~~

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、 等差数列求和公式：

2、 等比数列求和公式：

自然数方幂和公式：

3、 4、

5、

[例] 求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4(x≠0)

解： ∵x≠0

∴该数列是首项为1，公比为x2的等比数列而且有n+3项

当x2＝1 即x＝±1时 和为n+3

评注：

(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x是否为0进行讨论．

(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n项．

对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+ ），……的前顶和为 ，则 的值。

二、错位相减法求和

错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an?6?1 bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。

[例] 求和： （ ）………………………①

解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积

设 ………………………. ② （设制错位）

①－②得 （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

∴

注意、1 要考虑 当公比x为值1时为特殊情况

2 错位相减时要注意末项

此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。

对应高考考题：设正项等比数列 的首项 ，前n项和为 ，且 。（Ⅰ）求 的通项； （Ⅱ）求 的前n项和 。

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个 .

[例] 求证：

证明： 设 ………………………….. ①

把①式右边倒转过来得

（反序）

又由 可得

…………..…….. ②

①+②得 （反序相加）

∴

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

若数列 的通项公式为 ，其中 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。

[例]：求数列 的前n项和；

分析：数列的通项公式为 ，而数列 分别是等差数列、等比数列，求和时一般用分组结合法；

[解] ：因为 ，所以

（分组）

前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1） （2）

（3） （4）

（5）

[例] 求数列 的前n项和.

解：设 （裂项）

则 （裂项求和）

＝

＝

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意： 余下的项具有如下的特点

1余下的项前后的位置前后是对称的。

2余下的项前后的正负性是相反的。

[练习] 在数列{an}中， ，又 ，求数列{bn}的前n项的和.

高考数列裂项求和

数 列 经 典 题 选 析

江苏 王海平

数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.

一,等差数列与等比数列

例1.A={递增等比数列的公比},B={递减等比数列的公比},求A∩B.

解:设q∈A,则可知q>0(否则数列为摆动数列).

由an+1-an=a1·qn-a1·qn-1=a1·qn-1(q-1)>0,得

当a1>0时,那么q>1;当a1<0时,则0从而可知 A={q | 0若q∈A,同样可知q>0.由an+1-an=a1·qn-a1·qn-1=a1·qn-1(q-1)0时,那么0亦可知 B={q | 0故知A∩B={q | 0说明:貌似无法求解的问题,通过数列的基本量,很快就找到了问题的突破口!

例2.求数列1,(1+2),(1+2+22),……,(1+2+22+……+2n-1),……前n项的和.

分析:要求得数列的和,当务之急是要求得数列的通项,并从中发现一定规律.而通项又是一等比数列的和.设数列的通项为an,则an=1+2+22+……+2n-1==2n-1.从而该数列前n项的和

Sn=(2-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)

=(2+22+23+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2.

说明:利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

等差数列求和公式:

2,等比数列求和公式:

4,

常用的数列求和方法有:利用常用求和公式求和;错位相减法求和;反序相加法求和;分组法求和;裂项法求和;合并法求和;利用数列的通项求和等等.

例3.已知等差数列{an}的公差d=,S100=145.设S奇=a1+a3+a5+……+a99,S'=a3+a6+a9+……+a99,求S奇,S'.

解:依题意,可得 S奇+S偶=145,

即S奇+(S奇+50d)=145, 即2 S奇+25=145, 解得,S奇=120.

又由S100=145,得 =145,故得a1+a100=2.9

S'=a3+a6+a9+……+a99

=====1.7·33=56.1.

说明:整体思想是求解数列问题的有效手段!

例4.在数列{an}中,a1=b(b≠0),前n项和Sn构成公比为q的等比数列.

(1)求证:数列{an}不是等比数列;

(2)设bn=a1S1+a2S2+…+anSn,|q|<1,求bn.

解:(1)证明:由已知S1=a1=b

∵{Sn}成等比数列,且公比为q.

∴Sn=bqn-1,∴Sn-1=b·qn-2(n≥2).

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=bqn-1-bqn-2=b·(q-1)·qn-2

故当q≠1时,==q,

而==q-1≠q,∴{an}不是等比数列.

当q=1,n≥2时,an=0,所以{an}也不是等比数列.

综上所述,{an}不是等比数列.

(2)∵|q|<1,由(1)知n≥2,a2,a3,a4,…,an构成公比为q的等比数列,∴a2S2,a3S3,…,anSn是公比为q2的等比数列.

∴bn=b2+a2S2·(1+q2+q4+…+q2n-4)

∵S2=bq,a2=S2-S1=bq-b

∴a2S2=b2q(q-1)

∴bn=b2+b2q(q-1)·

∵|q|0,1600[()n-1]-4000×[1-()n]>0

化简得,5×()n+2×()n-7>0?

设x=()n,5x2-7x+2>0? ∴x1(舍)? 即()n4,故使得上式成立的最小n∈N+为5,

故最少需要经过5年的努力,才能使全县的绿化率达到60%.

三,归纳,猜想与证明

例7.已知数列{ an}满足Sn+an=(n2+3n-2),数列{ bn}满足b1=a1,

且bn=an-an-1-1(n≥2).

(1)试猜想数列{ an}的通项公式,并证明你的结论;

解:(1)∵Sn+an=(n2+3n-2),S1=a1,∴2a1=(1+3×1-2)=1,

∴a1==1-.当n=2时,有+2a2=(22+3×2-2)=4, ∴a2==2-

猜想,得数列{ an}的通项公式为an=n-

(2)若cn=b1+b2+…+bn,求的值.

当n=3时,有++3a3=8, ∴a3==3-.

用数学归纳法证明如下:

①当n=1时,a1=1-=,等式成立.

②假设n=k时,等式ak=k-成立,那么

n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=[-ak+1]-[-ak],

.∴2 ak+1=k+2+ak, 2 ak+1=k+2+(k-),

∴ak+1=(k+1)-,即当n=k+1时,等式也成立.

综上①,②知,对一切自然数n都有an=n-成立.

(2)∵b1=a1=,bn=an-an-1-1=[n-]-[(n-1)-]-1=.

∴cn=b1+b2+…+bn=1-()n, ∴=[1-()n]=1.

例8.已知数列{an}满足a1=2,对于任意的n∈N,都有an>0,且(n+1) an2+an an+1-n an+12=0.又知数列{bn}满足:bn=2n-1+1..?

(Ⅰ)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn;?

(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn;?

(Ⅲ)猜想Sn和Tn的大小关系,并说明理由.

解:(n+1) an2+an an+1-n an+12=0.是关于an和an+1的二次齐次式,故可利用求根公式得到an与an+1的更为明显的关系式,从而求出an .

(Ⅰ)∵an>0(n∈N),且(n+1) an2+an an+1-n an+12=0,

∴ (n+1)()2+()-n=0.

∴=-1或=.

∵an>0(n∈N),∴=.

∴=···……··=···…··=n.

又a1=2,所以,an=2n.

∴Sn=a1+a2+a3+……+an=2(1+2+3……+n)=n2+n.

(Ⅱ)∵bn=2n-1+1,?

∴Tn=b1+b2+b3 +……+bn=20+21+22+……+2n-1+n=2n+n-1

(Ⅲ) Tn-Sn=2n-n2-1.?

当n=1时,T1-S1 =0,∴T1=S1;

当n=2时,T2-S2=-1,?∴T2当n=3时,T3-S3=-2,?∴T3当n=4时,T4-S4=-1,?∴T4S5;

当n=6时,T6-S6=27,,?∴T6>S6;

猜想:当n≥5时,Tn>Sn.即2n>n2+1.下用数学归纳法证明:?

1° 当n=5时,前面已验证成立;

2° 假设n=k(k≥5)时命题成立,即2k>k2+1.成立,

那么当n=k+1时,

2k+1=2·2k>2(k2+1)=k2+k2+2≥k2+5k+2>k2+2k+2=(k+1)2+1.

即n=k+1(k≥5)时命题也成立.

由以上1°,2°可知,当n≥5时,有Tn>Sn.;

综上可知:当n=1时,T1=S1;当2≤n<5时,TnSn..

说明:注意到2n的增长速度大于n2+1的增长速度,所以,在观察与归纳的过程中,不能因为从n=1到n=4都有Tn≤Sn.就得出Tn≤Sn.的结论,而应该坚信:必存在,使得2n>n2+1,从而使得观察的过程继续下去.

例9. 已知函数f(x)=x2-3,(x≤-3)

(1)求f(x)的反函数f-1(x);

(2)记a1=1,an= -f-1(an-1)(n≥2),请写出a2,a3,a4的值并猜测想an的表达式.再用数学归纳法证明.

解:(1)设y=f(x)= x2-3,(x≤-3 ),由y2=x2-3(x≤-),x= -y2+3

即f-1(x)= -x2+3 (x≥0).

(2)由a1=1且an= -f-1(an-1)(n≥2的整数),a2= -f-1(a1)= -( -a12+3 =4 ,

a3=3+4=7 ,a4=3+7=10 .

依不完全归纳可以猜想到:an=3n-2 (n自然数)

下面用数学归纳法予以证明:

当n=1时,a1=3×1-2 =1命题成立

假设n=k(1≤k≤n)时,命题成立:即ak=3k-2

那么当n=k+1时,ak+1=-f-1(ak)

=ak2+3 =3k-2+3 =3k+1-2

综上所述,可知对一切自然数n均有an=3n-2 成立.

例10. 已知数列{an}中,a7=4,an+1=,.

(Ⅰ)是否存在自然数m,使得当n≥m时,an<2;当n2

(Ⅱ)是否存在自然数p,使得当n≥p时,总有13时,也有an<2 这就引导我们去思考这样一个问题:若an<2,能否得出an+1<2

为此,我们考查an+1-2与an-2的关系,易得

an+1-2=-2 =.

可以看出:当an<2时,必有an+1<2.于是,我们可以确定:当n≥10时,必有an2.

方法之一是一一验证.即通过已知条件解出:an=.由此,我们可以从a7出发,计算出这个数列的第6项到第1项,从而得出结论.

另外,得益于上述解法,我们也可以考虑这样的问题:"若an+1>2,能否得出an>2"

由an-2=-2=不难得知:上述结论是正确的.

所以,存在m=10,使得当n≥m时,an<2;当n2.

(Ⅱ)问题等价于:是否存在自然数p,使得当n≥p时,总有an-1-an+1-2 an<0.

由(Ⅰ)可得:an-1-an+1-2 an=.

我们已经知道:当n≥10时,an<2,于是(an<2)3<0,(7-an)-3

观察前面计算的结果,可以看出:a100,从而得出结论.

说明:(1)归纳,猜想是建立在细致的观察和缜密的分析基础上的,并非无源之水,无本之木.(2)上述分析的过程如果用数学归纳法写出,则相当简洁,但同时也掩盖了思维的过程.

四,由递推公式探求数列问题

例11.设An为数列{an}的前n项的和,An=(an-1),数列{bn}的通项公式为bn=4n+3.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大先后顺序排成一个新的数列{dn},证明数列{dn}的通项公式为dn=32n+1;

(3)设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项,Br为数列{bn}的前r项的和,Dn为数列{dn}的前n项和,Tn=Br-Dn,求.

解:(1)由An= (an-1),可知An+1= (an+1-1)

∴An+1-An= (an+1-an)=an+1,即 =3

而a1=A1= (a1-1),得a1=3

所以数列{an}是以3为首项,公比为3的等比数列,数列{an}的通项公式为an=3n.

(2)∵32n+1=3·32n=3·(4-1)2n

=3×(42n+C12n·42n-1(-1)+…+C2n2n-1·4·(-1)+(-1)2n)

=4m+3

∴32n+1∈{bn}

而数32n=(4-1)2n

=42n+C2n1·42n-1·(-1)+…+C2n2n-1·4·(-1)+(-1)2n

=(4k+1)

∴32n{bn}

而数列{an}={32n+1}∪{32n}

∴ dn=32n+1

(3)由32n+1=4·r+3,可知r=

∵Br==r(2r+5)=·

Dn=·(1-9n)=(9n-1)

∴Tn=Br-Dn=-(9n-1)

=·34n-·32n+

又∵(an)4=34n

∴=

例12. 已知函数f(x)=x+x2-a2 (a>0)

(1)求f(x)的反函数f-1(x)及其定义域;

(2)数列{an}满足a1=3aan+1=f-1an

设bn=,数列{bn}的前n项和为Sn,试比较Sn与的大小,并证明你的结论.

解:(1)给y-x=x2-a2 两边平方,整理得 x=

∵y-x=y-==≥0

∴y≥a或-a≤y<0

故f-1(x)= ,其定域为[-a,0)∪[a,+∞)

(2)∵an+1=f-1(an)=

∴bn+1==…=()2=bn2 (可两边取对数求解)

又a1=3a,b1===

∴bn=(bn-1)2=(bn-2)=(bn-3)

=…=(b1) =()

∴Sn=b1+b2+…+bn

=+()2+()+[()+()+…+()]==1-()n

由此可知,当n<3时,Sn3时,Sn>.

又∵2n-1=(1+1)n-1=1+C1n-1+C2n-1+C3n-1+……+Cn-1n-1

则当n≥4时,2n-1>1+C1n-1+C2n-1

=1+(n-1)+>n+1

∴().

当n=3时,Sn=+()2+()=++=<.

故知当n≤3 时,Sn2,故a22,得an>2,所以{an}单调递减.且因为an>2,所以

an-2=<(an-1-2)

<()2(an-2-2)<…2pq,又a1,b1不为零,∴c22≠c1·c3,故{cn}不是等比数列.

说明: 本题是2000年全国高考数学试题.其证法很多,建议读者从不同的角度审视此题.我们可以得出更一般的结论;

推论1:设数列{cn},cn=an+bn且a≠b,则数列{cn+1-pcn}为等比数列的充要条件是p=a或p=b.

推论2:设{an},{bn}是两个等比数列,则数列{an+bn}为等比数列的充要条件是,数列{an},{bn}的公比相等.

推论3:公比为a,b的等比数列{an},{bn},且a≠b,s,t为不全为零的实数,cn=san+tbn为等比数列的充要条件是st=0.

例15.数列{an}中,a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1-an n∈N

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求sn;

(3)设bn= ( n∈N),Tn=b1+b2+…+bn( n∈N),是否存在最大的整数m,使得对任意n∈N,均有Tn>成立 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

解:(1)由an+2=2an+1-an

an+2-an+1=an+1-an,可知{an}成等差数列,d==-2

-∴an=10-2n

(2)由an=10-2n≥0得n≤5

∴当n≤5时,Sn=-n2+9n

当n>5时,Sn=n2-9n+40

故Sn=-n2+9n 1≤n≤5n2-9n+40 n>5 (n∈N)

(3)bn===()

∴Tn= b1+b2+…+bn

=[(1-)+(-)+(-)+……+(-)]=(1-)=

>>Tn-1>Tn-2>……>T1.

∴要使Tn>总成立,需

1到n的平方和数列求和

看不清原题的第1问，但从你算的第二问看，4n/(2n-1)(2n+1)=1/（2n-1)+1/(2n+1)没错啊，再结合前面-1的整数指数幂刚好，满足相邻项的累加抵消，如你所算有：

（1/1+1/3）+（-1/3-1/5）+（1/5+1/7）+...+（-1）…+(-1)^(n-1)(1/（2n-1)+1/(2n+1))

=1+(-1)^(n-1)(1/(2n+1)).

高考 数列列项求和法 常见的裂项方法

1?＋2?+3?+....+n?=n(n+1)(2n+1)/6。

利用恒等式（n+1)?=n?+3n?+3n+1，可以得到：

(n+1)?-n?=3n?+3n+1

n?-(n-1)?=3(n-1)?+3(n-1)+1

3?-2?=3*(2?)+3*2+1

2?-1?=3*(1?)+3*1+1

把这n个等式两端分别相加，得：

(n+1)?-1=3(1?+2?+3?+.+n?)+3(1+2+3+...+n)+n

由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2

代入上式得：n?+3n?+3n=3(1?+2?+3?+.+n?)+3(n+1)n/2+n

整理后得：1+2+3+.+n=n(n+1)(2n+1)/6

数列求和方法

数列求和对按照一定规律排列的数进行求和。求Sn实质上是求{an}的通项公式，应注意对其含义的理解。常见的方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要有一定的技巧。

高考数列大题求解

你看看这个吧,希望对你有帮助.

裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5） n·n!=(n+1)!-n!

[例1] 分数裂项基本型求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）

则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）

＝ 1-1/(n+1)

＝ n/(n+1)

高考的数学题谢谢~~

⑴ a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n

a(n+1)=[(n+1)/n]an+(n+1)/2^n

两边同除(n+1)得：a(n+1)/(n+1)=an/n+1/2^n

b1=a1/1=1

b(n+1)-bn=1/2^n

n>=2时

b2-b1=1/2

b3-b2=1/2^2

……

bn-b(n-1)=1/2^(n-1)

把以上n-1个等式相加：bn-b1=bn-1=1/2+1/2^2+…+1/2^(n-1)=1-1/2^(n-1)

bn=2-1/2^(n-1)，b1=1也适合此式。

所以，数列{bn}的通项公式为：bn=2-1/2^(n-1)，(n为正整数)

⑵

bn=an/n=2-1/2^(n-1)

an=2n-n/2^(n-1)

Sn=2-1/2^0+4-2/2+6-3/2^2+…+2n-n/2^(n-1)

=(2+4+6+…+2n)-[1/2^0+2/2+3/2^3+…+n/2^(n-1)]

=n(n+1)-[1/2^0+2/2+3/2^3+…+n/2^(n-1)]

设Tn=1/2^0+2/2+3/2^3+…+n/2^(n-1) (1)

(1/2)*(1)得：(1/2)Tn=1/2+2/2^2+3/2^3+…+n/2^n (2)

(1)-(2)得：

(1/2)Tn=1+1/2+1/2^2+1/2^3+…+1/2^(n-1)-n/2^n=2-1/2^(n-1)-n/2^n

Tn=4-1/2^(n-2)-2n/2^(n-2)=4-(2n+1)/2^(n-2)

Sn=n(n+1)-Tn=n(n+1)+(2n+1)/2^(n-2)-4，n为正整数。

注：”∧n“指”n次方“

希望回答对你有帮助。

n=10,奇数项之和减偶数项之和应该等于这个2n+1项等差数列的中位数，即就是a（n+1），而a（n+1）又等于(a1+an)/2,所以利用等差数列求和公式：(a1+an)/2*（2n+1）=315即15*（2n+1）=315，n=10