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2015山东数学高考答案_2015山东卷数学
tamoadmin 2024-05-18 人已围观
简介1. (05年广东卷)已知数列 满足 , , ….若 ,则(B)(A) (B)3(C)4(D)52. (05年福建卷)3.已知等差数列 中, 的值是 ( A ) A.15 B.30 C.31 D.643. (05年湖南卷)已知数列 满足 ,则 = (B ) A.0 B. C. D. 4. (05年湖南卷)已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a2=5,则
1. (05年广东卷)已知数列 满足 , , ….若 ,则(B)
(A) (B)3(C)4(D)5
2. (05年福建卷)3.已知等差数列 中, 的值是 ( A )
A.15 B.30 C.31 D.64
3. (05年湖南卷)已知数列 满足 ,则 = (B )
A.0 B. C. D.
4. (05年湖南卷)已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a2=5,则
= (C)
A.2 B. C.1 D.
5. (05年湖南卷)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2005(x)=(C)
A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx
6. (05年江苏卷)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3 ,前三项和为21,则a3+ a4+ a5=(C )
( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189
7. (05年全国卷II) 如果数列 是等差数列,则(B )
(A) (B) (C) (D)
8. (05年全国卷II) 11如果 为各项都大于零的等差数列,公差 ,则(B)
(A) (B) (C) (D)
9. (05年山东卷) 是首项 =1,公差为 =3的等差数列,如果 =2005,则序号 等于(C )
(A)667 (B)668 (C)669 (D)670
10. (05年上海)16.用n个不同的实数a1,a2,┄an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3
一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,┄ain,记bi=- ai1+2ai2-3 ai3+┄+(-1)nnain, 1 3 2
i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3
是12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+2 12-3 12=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1
的数阵中, b1+b2+┄+b120等于 3 1 2
3 2 1
[答]( C )
(A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-720
11. (05年浙江卷) =( C )
(A) 2 (B) 4 (C) (D)0
12. (05年重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2,且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39,则该塔形中正方体的个数至少是( C)
(A) 4;
(B) 5;
(C) 6;
(D) 7。
13、(04年浙江文理(3)) 已知等差数列 的公差为2,若 成等比数列, 则 =
(A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10
14、(04年全国卷四文理6).等差数列 中, ,则此数列前20项和等于
A.160 B.180 C.200 D.220
15、(04年全国三文(4))等比数列 中 ,则 的前4项和为
A. 81 B. 120 C. 125 D. 192
16、(04年天津卷理8.) 已知数列 ,那么“对任意的 ,点 都在直线 上”是“ 为等差数列”的
A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
17、(04年全国卷三理⑶)设数列 是等差数列, ,Sn是数列 的前n项和,则( )
A.S4<S5 B.S4=S5 C.S6<S5 D.S6=S5
18.(2003天津文)5.等差数列 ( C )
A.48 B.49 C.50 D.51
19.(2001天津)若Sn是数列{an}的前n项和,且 则 是 ( B )
(A)等比数列,但不是等差数列 (B)等差数列,但不是等比数列
(C)等差数列,而且也是等比数列 (D)既非等比数列又非等差数列
20、(04年湖北卷理8文9).已知数列{ }的前n项和 其中a、b是非零常数,则存在数列{ }、{ }使得( )
A. 为等差数列,{ }为等比数列
B. 和{ }都为等差数列
C. 为等差数列,{ }都为等比数列
D. 和{ }都为等比数列
21、(04年重庆卷理9). 若数列 是等差数列,首项 ,则使前n项和 成立的最大自然数n是:( )
A 4005 B 4006 C 4007 D 4008
二、填空题
1、(05年广东卷)
设平面内有n条直线 ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三角形不过同一点.若用 表示这n条直线交点的个数,则 _____5________;当n>4时, =__ ___________.
2、. (05年北京卷)已知n次多项式 ,
如果在一种算法中,计算 (k=2,3,4,…,n)的值需要k-1次乘法,计算 的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算 的值共需要 n(n+3) 次运算.
下面给出一种减少运算次数的算法: (k=0, 1,2,…,n-1).利用该算法,计算 的值共需要6次运算,计算 的
值共需要 2n 次运算.
3. (05年湖北卷)设等比数列 的公比为q,前n项和为S?n,若Sn+1,S?n,Sn+2成等差数列,则q的值为 -2 .
4. (05年全国卷II) 在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_______216 __.
5. (05年山东卷)
6. (05年上海)12、用 个不同的实数 可得到 个不同的排列,每个排列为一行写成一个 行的数阵。对第 行 ,记 , 。例如:用1,2,3可得数阵如图,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以, ,那么,在用1,2,3,4,5形成的数阵中, =_-1080_________。
7、计算: =_3 _________。
8. (05年天津卷)设 ,则
9、 (05年天津卷)在数列{an}中, a1=1, a2=2,且 ,
则 =_2600_ ___.
10. (05年重庆卷) = -3 .
11、(04年上海卷理12) 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号)①S1与S2; ②a2与S3; ③a1与an; ④q与an.其中n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和.(①、④)
12(04年江苏卷15).设数列{an}的前n项和为Sn,Sn= (对于所有n≥1),且a4=54,则a1的数值是__2
13(04年北京文理(14))定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。已知数列 是等和数列,且 ,公和为5,那么 的值为___,且(文:这个数列的前21项和 的值为_____)(理:这个数列的前n项和 的计算公式为__( 3 ;(文:52)理:当n为偶数时, ;当n为奇数时, )
三、解答题
1.(05年北京卷)
设数列{an}的首项a1=a≠ ,且 ,
记 ,n==l,2,3,…?.
(I)求a2,a3;
(II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;
(III)求 .
解:(I)a2=a1+ =a+ ,a3= a2= a+ ;
(II)∵ a4=a3+ = a+ , 所以a5= a4= a+ ,
所以b1=a1- =a- , b2=a3- = (a- ), b3=a5- = (a- ),
猜想:{bn}是公比为 的等比数列?
证明如下:
因为bn+1=a2n+1- = a2n- = (a2n-1- )= bn, (n∈N*)
所以{bn}是首项为a- , 公比为 的等比数列?
(III) .
2.(05年北京卷)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1, ,n=1,2,3,……,求
(I)a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式;
(II) 的值.
解:(I)由a1=1, ,n=1,2,3,……,得
, , ,
由 (n≥2),得 (n≥2),
又a2= ,所以an= (n≥2),
∴ 数列{an}的通项公式为 ;
(II)由(I)可知 是首项为 ,公比为 项数为n的等比数列,∴ =
3.(05年福建卷)
已知{ }是公比为q的等比数列,且 成等差数列.
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)设{ }是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.
解:(Ⅰ)由题设
(Ⅱ)若
当 故
若
当
故对于
4. (05年福建卷)已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+ 我们知道当a取不同的值时,得到不同的数列,如当a=1时,得到无穷数列:
(Ⅰ)求当a为何值时a4=0;
(Ⅱ)设数列{bn?}满足b1=-1, bn+1= ,求证a取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an};
(Ⅲ)若 ,求a的取值范围.
(I)解法一:
故a取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an}
5. (05年湖北卷)设数列 的前n项和为Sn=2n2, 为等比数列,且
(Ⅰ)求数列 和 的通项公式;
(Ⅱ)设 ,求数列 的前n项和Tn.
解:(1):当
故{an}的通项公式为 的等差数列.
设{bn}的通项公式为
故
(II)
两式相减得
6. (05年湖北卷)已知不等式 为大于2的整数, 表示不超过 的最大整数. 设数列 的各项为正,且满足
(Ⅰ)证明
(Ⅱ)猜测数列 是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明);
(Ⅲ)试确定一个正整数N,使得当 时,对任意b>0,都有
解:(Ⅰ)证法1:∵当
即
于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知,当n≥3时有,
∵
证法2:设 ,首先利用数学归纳法证不等式
(i)当n=3时, 由
知不等式成立.
(ii)假设当n=k(k≥3)时,不等式成立,即
则
即当n=k+1时,不等式也成立.
由(i)、(ii)知,
又由已知不等式得
(Ⅱ)有极限,且
(Ⅲ)∵
则有
故取N=1024,可使当n>N时,都有
7. (05年湖南卷)已知数列 为等差数列,且
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)证明
(I)解:设等差数列 的公差为d.
由 即d=1.
所以 即
(II)证明因为 ,
所以
8. (05年湖南卷)自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N*,且x1>0.不考虑其它因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比,死亡量与xn2成正比,这些比例系数依次为正常数a,b,c.
(Ⅰ)求xn+1与xn的关系式;
(Ⅱ)猜测:当且仅当x1,a,b,c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不
要求证明)
(Ⅱ)设a=2,b=1,为保证对任意x1∈(0,2),都有xn>0,n∈N*,则捕捞强度b的
最大允许值是多少?证明你的结论.
解(I)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为
(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1, n∈N*,从而由(*)式得
因为x1>0,所以a>b.
猜测:当且仅当a>b,且 时,每年年初鱼群的总量保持不变.
(Ⅲ)若b的值使得xn>0,n∈N*
由xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知
0<xn<3-b, n∈N*, 特别地,有0<x1<3-b. 即0<b<3-x1.
而x1∈(0, 2),所以
由此猜测b的最大允许值是1.
下证 当x1∈(0, 2) ,b=1时,都有xn∈(0, 2), n∈N*
①当n=1时,结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立,即xk∈(0, 2),
则当n=k+1时,xk+1=xk(2-xk?)>0.
又因为xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2,
所以xk+1∈(0, 2),故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知,对于任意的n∈N*,都有xn∈(0,2).
综上所述,为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0, n∈N*,则捕捞强度b的最大允许值是1.
9. (05年江苏卷)设数列{an}的前项和为 ,已知a1=1, a2=6, a3=11,且 , 其中A,B为常数.
(Ⅰ)求A与B的值;
(Ⅱ)证明数列{an}为等差数列;
(Ⅲ)证明不等式 .
解:(Ⅰ)由 , , ,得 , , .
把 分别代入 ,得
解得, , .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,即
, ①
又 . ②
②-①得, ,
即 . ③
又 . ④
④-③得, ,
∴ ,
∴ ,又 ,
因此,数列 是首项为1,公差为5的等差数列.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知, .考虑
.
.
∴ .
即 ,∴ .
因此, .
10. (05年辽宁卷)已知函数 设数列 }满足 ,数列 }满足
(Ⅰ)用数学归纳法证明 ;
(Ⅱ)证明
解:(Ⅰ)证明:当 因为a1=1,
所以 ………………2分
下面用数学归纳法证明不等式
(1)当n=1时,b1= ,不等式成立,
(2)假设当n=k时,不等式成立,即
那么 ………………6分
所以,当n=k+1时,不等也成立。
根据(1)和(2),可知不等式对任意n∈N*都成立。 …………8分
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,
所以
…………10分
故对任意 ………………(12分)
11. (05年全国卷Ⅰ) 设正项等比数列 的首项 ,前n项和为 ,且 。
(Ⅰ)求 的通项;
(Ⅱ)求 的前n项和 。
解:(Ⅰ)由 得
即
可得
因为 ,所以 解得 ,因而
(Ⅱ)因为 是首项 、公比 的等比数列,故
则数列 的前n项和
前两式相减,得
即
12. (05年全国卷Ⅰ)
设等比数列 的公比为 ,前n项和 。
(Ⅰ)求 的取值范围;
(Ⅱ)设 ,记 的前n项和为 ,试比较 与 的大小。
解:(Ⅰ)因为 是等比数列,
当
上式等价于不等式组: ①
或 ②
解①式得q>1;解②,由于n可为奇数、可为偶数,得-1<q<1.
综上,q的取值范围是
(Ⅱ)由 得
于是
又∵ >0且-1< <0或 >0
当 或 时 即
当 且 ≠0时, 即
当 或 =2时, 即
13. (05年全国卷II) 已知 是各项为不同的正数的等差数列, 、 、 成等差数列.又 , .
(Ⅰ) 证明 为等比数列;
(Ⅱ) 如果数列 前3项的和等于 ,求数列 的首项 和公差 .
(I)证明:∵ 、 、 成等差数列
∴2 = + ,即
又设等差数列 的公差为 ,则( - ) = ( -3 )
这样 ,从而 ( - )=0
∵ ≠0
∴ = ≠0
∴
∴ 是首项为 = ,公比为 的等比数列。
(II)解。∵
∴ =3
∴ = =3
14.( 05年全国卷II)
已知 是各项为不同的正数的等差数列, 、 、 成等差数列.又 , .
(Ⅰ) 证明 为等比数列;
(Ⅱ) 如果无穷等比数列 各项的和 ,求数列 的首项 和公差 .
(注:无穷数列各项的和即当 时数列前 项和的极限)
解:(Ⅰ)设数列{an}的公差为d,依题意,由 得
即 ,得 因
当 =0时,{an}为正的常数列 就有
当 = 时, ,就有
于是数列{ }是公比为1或 的等比数列
(Ⅱ)如果无穷等比数列 的公比 =1,则当 →∞时其前 项和的极限不存在。
因而 = ≠0,这时公比 = ,
这样 的前 项和为
则S=
由 ,得公差 =3,首项 = =3
15. (05年全国卷III)
在等差数列 中,公差 的等差中项.
已知数列 成等比数列,求数列 的通项
解:由题意得: ……………1分
即 …………3分
又 …………4分
又 成等比数列,
∴该数列的公比为 ,………6分
所以 ………8分
又 ……………………………………10分
所以数列 的通项为 ……………………………12分
16. (05年山东卷)
已知数列 的首项 前 项和为 ,且
(I)证明数列 是等比数列;
(II)令 ,求函数 在点 处的导数 并比较 与 的大小.
解:由已知 可得 两式相减得
即 从而 当 时 所以 又 所以 从而
故总有 , 又 从而 即数列 是等比数列;
(II)由(I)知
因为 所以
从而 =
= - =
由上 - =
=12 ①
当 时,①式=0所以 ;
当 时,①式=-12 所以
当 时, 又
所以 即① 从而
17.(05年上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.
假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
[解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,
其中a1=250,d=50,则Sn=250n+ =25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.
到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中b1=400,q=1.08,则bn=400?(1.08)n-1?0.85.
由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)?50>400?(1.08)n-1?0.85.
由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
18. (05年天津卷)
已知 .
(Ⅰ)当 时,求数列 的前n项和 ;
(Ⅱ)求 .
(18)解:(Ⅰ)当 时, .这时数列 的前 项和
. ①
①式两边同乘以 ,得 ②
①式减去②式,得
若 ,
,
若 ,
(Ⅱ)由(Ⅰ),当 时, ,则 .
当 时,
此时, .
若 , .
若 , .
19. (05年天津卷)若公比为c的等比数列{ }的首项 =1且满足: ( =3,4,…)。
(I)求c的值。
(II)求数列{ }的前 项和 。
20. (05年浙江卷)已知实数a,b,c成等差数列,a+1,了+1,c+4成等比数列,求a,b,c.
解:由题意,得 由(1)(2)两式,解得
将 代入(3),整理得
解得 或
故 , 或
经验算,上述两组数符合题意。
21(05年浙江卷)设点 ( ,0), 和抛物线 :y=x2+an x+bn(n∈N*),其中an=-2-4n- , 由以下方法得到:
x1=1,点P2(x2,2)在抛物线C1:y=x2+a1x+b1上,点A1(x1,0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离,…,点 在抛物线 :y=x2+an x+bn上,点 ( ,0)到 的距离是 到 上点的最短距离.
(Ⅰ)求x2及C1的方程.
(Ⅱ)证明{ }是等差数列.
解:(I)由题意,得 。
设点 是 上任意一点,则
令 则
由题意,得 即
又 在 上,
解得
故 方程为
(II)设点 是 上任意一点,则
令 ,则 .
由题意得g ,即
又
即 (*)
下面用数学归纳法证明
①当n=1时, 等式成立。
②假设当n=k时,等式成立,即
则当 时,由(*)知
又
即当 时,等式成立。
由①②知,等式对 成立。
是等差数列。
22. (05年重庆卷)数列{an}满足a1?1且8an?1?16an?1?2an?5?0 (n?1)。记 (n?1)。
(1) 求b1、b2、b3、b4的值;
(2) 求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
解法一:
(I)
(II)因 ,
故猜想
因 ,(否则将 代入递推公式会导致矛盾)。
∵
故 的等比数列.
,
解法二:
(Ⅰ)由
整理得
(Ⅱ)由
所以
故
由 得
故
解法三:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)
从而
故
23. (05年重庆卷)数列{an}满足 .
(Ⅰ)用数学归纳法证明: ;
(Ⅱ)已知不等式 ,其中无理数e=2.71828….
(Ⅰ)证明:(1)当n=2时, ,不等式成立.
(2)假设当 时不等式成立,即
那么 . 这就是说,当 时不等式成立.
根据(1)、(2)可知: 成立.
(Ⅱ)证法一:
由递推公式及(Ⅰ)的结论有
两边取对数并利用已知不等式得
故
上式从1到 求和可得
即
(Ⅱ)证法二:
由数学归纳法易证 成立,故
令
取对数并利用已知不等式得
上式从2到n求和得
因
故 成立
24. (05年江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn-Sn-2=3 求数列{an}的通项公式.
解:方法一:先考虑偶数项有:
………
同理考虑奇数项有:
………
综合可得
方法二:因为
两边同乘以 ,可得:
令
所以
………
又
∴
∴
25. (05年江西卷)
已知数列
(1)证明
(2)求数列 的通项公式an.
解:(1)方法一 用数学归纳法证明:
1°当n=1时,
∴ ,命题正确.
2°假设n=k时有
则
而
又
∴ 时命题正确.
由1°、2°知,对一切n∈N时有
方法二:用数学归纳法证明:
1°当n=1时, ∴ ;
2°假设n=k时有 成立,
令 , 在[0,2]上单调递增,所以由假设
有: 即
也即当n=k+1时 成立,所以对一切
(2)下面来求数列的通项: 所以
,
又bn=-1,所以
26、(04年全国卷四文18).已知数列{ }为等比数列, (Ⅰ)求数列{ }的通项公式;
(Ⅱ)设 是数列{ }的前 项和,证明
解:(I)设等比数列{an}的公比为q,则a2=a1q, a5=a1q4. 依题意,得方程组a1q=6, a1q4=162.解此方程组,得a1=2, q=3.故数列{an}的通项公式为an=2?3n-1
(II)
27、(04年全国三文⒆)设公差不为零的等差数列{an},Sn是数列{an}的前n项和,且 , ,求数列{an}的通项公式.
解:设数列{an}的公差为d(d≠0),首项为a1,由已知得: .解之得: , 或 (舍)
28(04年全国卷三理(22))已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=2an +(-1)n,n≥1.⑴写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3;
⑵求数列{an}的通项公式;⑶证明:对任意的整数m>4,有
解:⑴当n=1时,有:S1=a1=2a1+(-1) a1=1;当n=2时,有:S2=a1+a2=2a2+(-1)2 a2=0;
当n=3时,有:S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3 a3=2;综上可知a1=1,a2=0,a3=2;
⑵由已知得: ,化简得:
上式可化为: ,故数列{ }是以 为首项, 公比为2的等比数列.故 ∴
数列{ }的通项公式为:
⑶由已知得:
. 故 ,( m>4)
29、(04年天津卷文20. )设 是一个公差为 的等差数列,它的前10项和 且 , , 成等比数列。(1)证明 ;(2)求公差 的值和数列 的通项公式
证明:因 , , 成等比数列,故 ,而 是等差数列,有 ,
于是 ,即 ,化简得
(2)解:由条件 和 ,得到 ,由(1), ,代入上式得 ,故 , ,
30(04年浙江卷文(17))、已知数列 的前n项和为 (Ⅰ)求 ;(Ⅱ)求证数列 是等比数列
解: (Ⅰ)由 ,得 ,∴ ,又 ,即 ,得 .(Ⅱ)当n>1时, 得 所以 是首项 ,公比为 的等比数列
31(04年广东卷17). 已知 成公比为2的等比数列( 也成等比数列. 求 的值
解:∵α,β,γ成公比为2的等比数列,∴β=2α,γ=4α,∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列
当cosα=1时,sinα=0,与等比数列的首项不为零,故cosα=1应舍去,
32(04年湖南文20). 已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列,Sn是其前n项的和,a1,2a7,3a4 成等差数列.(I)证明 12S3,S6,S12-S6成等比数列;(II)求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n
(Ⅰ)证明 由 成等差数列, 得 ,即 变形得 所以 (舍去).由
得
所以12S3,S6,S12-S6成等比数列
(Ⅱ)解:
即 ①
①× 得:
所以
33、(04年江苏卷20).设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若首项 32 ,公差 ,求满足 的正整数k;(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数k都有 成立
解:(1) ;(2) 或 或
34(04年全国卷一理15).已知数列{an},满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项
( 答案 )
35(04年全国卷一理22).已知数列 ,且a2k=a2k-1+(-1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….
(I)求a3, a5;(II)求{ an}的通项公式
解:(I)a2=a1+(-1)1=0,a3=a2+31=3. a4=a3+(-1)2=4, a5=a4+32=13, 所以,a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k = a2k-1+(-1)k+3k, 所以a2k+1-a2k-1=3k+(-1)k, 同理a2k-1-a2k-3=3k-1+(-1)k-1,
……a3-a1=3+(-1).
所以(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+…+(a3-a1)=(3k+3k-1+…+3)+[(-1)k+(-1)k-1+…+(-1)],
由此得a2k+1-a1= (3k-1)+ [(-1)k-1],于是a2k+1=
a2k= a2k-1+(-1)k= (-1)k-1-1+(-1)k= (-1)k=1
{an}的通项公式为: 当n为奇数时,an?= 当n为偶数时,
36(04年全国卷一文17). 等差数列{ }的前n项和记为Sn.已知
(Ⅰ)求通项 ;(Ⅱ)若Sn=242,求n
解:(Ⅰ)由 得方程组 解得
所以 (Ⅱ)由 得方程
解得
37(04年全国卷二理(19))、数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,…)
证明:(Ⅰ)数列{ }是等比数列;(Ⅱ)Sn+1=4an
证(I)由a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,…),知a2= S1=3a1, , ,∴
又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3,…),则Sn+1-Sn= Sn(n=1,2,3,…),∴nSn+1=2(n+1)Sn, (n=1,2,3,…).故数列{ }是首项为1,公比为2的等比数列
证(II) 由(I)知, ,于是Sn+1=4(n+1)? =4an(n )
又a2=3S1=3,则S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an
38(04年全国卷二文(17))、已知等差数列{an},a2=9,a5 =21
(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)令bn= ,求数列{bn}的前n项和Sn
解:a5-a2=3d,d=4,an=a2+(n-2)d=9+4(n-2)=4n+1;{bn}是首项为32公比为16的等比数列,Sn= .
2023山东高考数学试题总体来说有难度。
1.山东高考数学试题答案解析:
新课标工卷第7题,以等差数列为材料考查充要条件的推证,要求考生判别充分性和必要性,然后分别进行证明,解决问题的关键是利用等差数列的概念和特点进行推理论证。
新课标I卷第9题,考查统计抽样中样本的基本数字特征,考查考生对样本的平均数、标准差、中位数、极差概念的理解和掌握,不仅注重试题的基础性,而且使基础知识的考查和能力的考查有机结合。
新课标I卷第10题,利用对数函数研究噪声声压水平,通过对声压级的研究,全面考查对数及其运算的基础知识。
新课标工卷第17题,以正弦定理、同角三角函数基本关系式、解三角形等数学内容,考查数学运算素养。
2.2023年山东高考数学试题难不难
2023年山东省高考数学试题总体来说有难度。数学试题难不难想必一定是考生讨论的热门话题,有的人觉得难,有的人觉得不难。
2023山东高考数学试题第4题考查台体的体积计算,但并没有直接考查,而是将此知识融入到实际生活背景中,考查学生的数学建模能力,将实际问题抽象为数学问题来解决。
2023山东高考数学试题20题概率统计也以真实的某种疾病与卫生习惯的关系的情境来考查,这些都体现出高考命题注重应用性。
3.2023山东高考数学试卷难度如何
2023山东高考数学比较难,山东高考使用全国1卷,今年的全国1卷数学题型较难,很多考生都抱怨说今年的数学试题没做过,看不懂题目,让人抓不着头绪。
山东高考数学试卷为了实现对学生素养的考查,高考命题加强对数学思想方法的考查,今年的新高考1卷体现得较为充分。
2023山东高考数学试卷难度单单从试卷的试题本身来说,这个和每个人的知识点掌握程度和擅长的题目类型有关系,还和个人的临场发挥有关联,高考考生现场状态非常重要。