江苏2008年高考数学_江苏2008高考数学

1.求08年江苏数学高考试卷 word 版（带答案）

2.求2008年江苏高考数学试卷（带答案的）

3.近10年江苏高考数学平均分

4.江苏卷数学哪年最难?

10年的

一、填空题1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},AB={3}，则实数a=______▲________

2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲________

3、盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__

4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。

5、设函数f(x)=x(ex+ae-x),xR，是偶函数，则实数a=_______▲_________

6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______

7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______ 开始 S1 n1 SS+2n S33 nn+1 否 输出S 结束 是

8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____

9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____

10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____

11、已知函数,则满足不等式的x的范围是____▲____

12、设实数x,y满足38，49，则的最大值是_____▲____

13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则__▲

14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,则S的最小值是_______▲_______

二、解答题

15、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长(2)设实数t满足()=0，求t的值

16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB‖DC，BCD=900(1)求证：PCBC(2)求点A到平面PBC的距离

17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角ABE=α，ADE=β(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大

18.（16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T（）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M，，其中m>0,①设动点P满足,求点P的轨迹②设，求点T的坐标③设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）ABOF

19．（16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.①求数列的通项公式（用表示）②设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为

20.（16分）设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质.(1)设函数，其中为实数①求证：函数具有性质②求函数的单调区间(2)已知函数具有性质，给定，，且，若||<||,求的取值范围

理科附加题21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）(1)几何证明选讲AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC (2)矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k0，kR，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值(3)参数方程与极坐标在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值(4)不等式证明选讲已知实数a,b0，求证：22、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立（1）记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数（1）求证cosA是有理数（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数

求08年江苏数学高考试卷 word 版（带答案）

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学

本试卷分第I

卷（填空题）和第II

卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本

试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1

．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的

准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．

2

．选择题答案使用2B

铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择

题答案使用0.5

毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．

3

．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4

．保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5

．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B

铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

参考公式：

样本数据1， ， ， 的标准差锥体体积公式x 2 x ? n x

2 2 2

1 2

1 [( ) ( ) ( ) ] n s x x x x x x

n

?

1

3

V ? Sh

其中x 为样本平均数其中S 为底面面积、h 为高

柱体体积公式球的表面积、体积公式

V ? Sh S ? 4πR2， 3 4 π

3

V ? R

其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径

一、填空题：本大题共1

小题，每小题5

分，共70

分．

1． )最小正周期为，其中，则▲ ．

6

( ) cos(

f x x ?

5

0

解析本小题考查三角函数的周期公式． ．

2π π 10

5

T ?

答案10

2． 一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率▲ ．

解析本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故

3 1 .

6 6 12

P

答案

1

12

3． ( , )，则= ▲ ．

1

1 a bi a b R

i

i

表示为a ?b

解析本小题考查复数的除法运算．∵ ，∴a＝0，b＝1，因此a＋b＝1．

1 i (1 i)2 i

1 i 2

答案1

4． A x (x ?1)2 ? 3x ? 7?，则A ?Z 的元素的个数▲ ．

解析本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由(x ?1)2 ? 3x ? 7得x 2 ? 5x ? 8 ? 0，

∵Δ＜0，∴集合A 为?，因此A ?Z 的元素不存在．

答案0

5． a,b的夹角为， 则▲ ．

120? a ?1, b ? 3,

5a ?b ?

解析本小题考查向量的线性运算．

5a ?b 2 ? (5a ?b)2 ? 25a 2 ?b 2 ?10a ?b

2 2 ． 25 1 3 10 1 3 ( 1) 49

2

?

答案5a ?b ? 7

6． 在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域，E 是

到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D中随机投一点，

则落入E 中的概率▲ ．

解析本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正

方形ABCD 的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内

部，因此．

12

4 4 16

P ?

答案

16

7． 算法与统计的题目

8． 直线y ? x ?b是曲线的一条切线，则实数b＝ ▲ ．

2

1 y ? ln x(x ? 0)

解析本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令得，故切点（2，ln2），

y 1

x

1 1

x 2

代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．

ln 2 1 2

2

?b

答案ln2－1

x

y

D C

A B

O

9． 在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P（0，p）在线

段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC,AB于点E,F ，一

同学已正确算的的方程： ，请你求的方程： OE 0 1 1 1 1 ?

?

y

p a

x

b c

OF

( ▲ ) 0． 1 1 ?

y

p a

x

解析本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得

1 1

c b

直线AB： x y 1，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB

b a

x y 1

c p

1 1 x 1 1 y 0

c b p a

与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．

答案

1 1

c b

10．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n≥3）从左向右的第3个数为▲ ．

解析本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1） 个，

即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第个，即为．

2

2

n ?n 2

3

2

n ?n

2 6

2

n ?n ?

答案

2 6

2

n ?n ?

11． 的最小值▲ ．

xz

x y z R x y z y

2

, , , ? 2 ? 3 ? 0,

解析本小题考查二元基本不等式的运用．由x ? 2y ? 3z ? 0得3 ，代入得

2

y x z ?

y 2

xz

，当且仅当x＝3z 时取“＝”．

2 9 2 6 6 6 3

4 4

x z xz xz xz

xz xz

?

≥ ?

答案3

12． 在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心， 为半径的圆， 2

2

2

2

a ? b ?

b

y

a

x a

过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ▲ ．

,0

2

c

a e

解析如图，切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以

△OAP 是等腰直角三角形，故，解得．

2

a 2a

c

2

e c

a

答案2

2

13．若AB ? 2,AC ? 2BC ，则的最大值▲ ． ABC S ?

解析本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝x，则AC＝ 2x，

根据面积公式得2 ， 1 sin 1 2 1 cos

ABC 2 2 S AB BC B x B

根据余弦定理得，代入上式得

2 2 2 4 2 ( 2 )2 4 2 cos

2 4 4

B AB BC AC x x x

AB BC x x

?

?

4 2 2 128 ( 2 12)2 1

ABC 4 16

S x x x

x ?

?

?

由三角形三边关系有解得，

2 2,

2 2 ,

x x

x x

?

2 2 ? 2 ? x ? 2 2 ? 2

故当x ? 2 3时取得最大值． ABC S ? 2 2

答案2 2

14． f (x) ? ax 3 ? 3x ?1对于x 1,1?总有f (x)≥0成立，则a = ▲ ．

解析本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论a 取何值， f (x)≥0显然成立；

当x＞0 即x ?0,1?时， f (x) ? ax3 ?3x ?1≥0可化为， 2 3

a 3 1

x x

≥ ?

设，则， 2 3

g (x) 3 1

x x

4

g (x) 3(1 2x)

x

?

所以g (x)在区间0, 1 上单调递增，在区间上单调递减，

2

1 ,1

2

因此max ，从而a≥4；

1

2

g (x) ? g ( ) ? 4

x

y

O

A

P

B

当x＜0 即x 1,0?时， f (x) ? ax3 ? 3x ?1≥0可化为， 2 3

a 3 1

x x

≤ ?

g (x)在区间?1,0?上单调递增，因此，从而a≤4，综上a＝4 min g (x) ? g (?1) ? 4

答案4

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角?,? ，它们的终边分别与单位圆

相交于A,B两点，已知A,B的横坐标分别为．

5

, 2 5

10

2

（Ⅰ）求tan( ? )的值；

（Ⅱ）求 2? 的值．

解析本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二

倍角的正切公式．

由条件得cos 2 ,cos 2 5 .

10 5

∵?,? 为锐角，∴sin 1 cos2 7 2 ,

10

?

sin 1 cos2 5 .因此

5

? tan 7, tan 1 .

2

（Ⅰ）

7 1 tan( ) tan tan 2 3. 1 tan tan 1 7 1

2

?

（Ⅱ） 2 2

2 1 tan 2 2 tan 2 4 ,

1 tan 1 3 1

2

?

7 4

tan( 2 ) 3 1. 1 7 4

3

?

∵?,? 为锐角，∴ ，∴ 0 2 3π

2

2 3π .

4

y

O x

A

B

16．在四面体ABCD 中，CB ?CD,AD ? BD ，且E,F 分别是AB,BD 的中点，

求证：（Ⅰ）直线EF ‖面ACD ；

（Ⅱ）面EFC ?面BCD．

解析本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．

（Ⅰ）∵E,F 分别是AB,BD 的中点，

∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF‖AD，

∵EF ?面ACD ，AD ?面ACD ，∴直线EF ‖面ACD．

（Ⅱ）∵AD ? BD ，EF‖AD，∴EF ? BD.

∵CB ?CD,F 是BD 的中点，∴CF ? BD.

又EF ?CF ? F ，∴BD⊥面EFC．∵BD ?面BCD，∴面EFC ?面BCD．

17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB ? 20km,

CB ?10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B与等距

离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为ykm．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设?BAO?(rad)，将y 表示成?的函数关系式；

②设OP ?x(km)，将y 表示成x的函数关系式．

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

解析本小题主要考查函数最值的应用．

（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若?BAO ?(rad)，则10 ,故

cos cos

OA AQ

BAO ?

10 ,

cos

OB

又OP＝10－10tanθ，所以， 10 10 10 10 tan

cos cos

y OA OB OP ?

?

所求函数关系式为． 20 10sin 10(0 π)

cos 4

y

?

②若OP ?x(km)，则OQ＝10－x，所以OA ?OB ? (10 ? x)2 ?102 ? x2 ? 20x ? 200.

所求函数关系式为y ? x ? 2 x 2 ? 20x ? 200(0 ? x ?10)．

（Ⅱ）选择函数模型①， 2 2

10cos cos (20 10sin )( sin ) 10(2sin 1) ,

cos cos

y ?

?

C

B

A

F

D

E

B

D C

A

O

P

Q

令y 0得sin 1，因为，所以，

2

0 π

4

π

6

当时， ，y 是的减函数；当时， ，y 是的增函数， 0, π

6

y 0 ? π , π

6 4

y 0 ?

所以当时， 这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距π

6

min

20 10 1

2 10 10 3 10.

3

2

y

离AB 边处． 10 3

3

km

18．设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f (x) ?x2 ?2x ?b(x?R)的图象与两坐标轴有三个交点，

经过这三个交点的圆记为C．求：

（Ⅰ）求实数b 的取值范围；

（Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．

解析本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．

（Ⅰ）令x＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b）；

令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

令y＝0 得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝b．

令x＝0 得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．

所以圆C 的方程为x2＋y2＋2x－（b＋1）y＋b＝0．

（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．

证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，

所以圆C 必过定点（0，1）．

同理可证圆C 必过定点（－2，1）．

19．（Ⅰ）设n 是各项均不为零的等差数列（ ），且公差，若将此数列删去某一a ,a ,......a 1 2 n≥4 d ?0

项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

①当n ?4时，求的数值；②求的所有可能值；

d

a1

n

（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列

，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列． 1 2 , ,...... n b b b

解析本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．

（Ⅰ）①当n＝4 时，a1，a2，a3，a4 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，

则推出d＝0．

若删去a2，则有a3

2＝a1·a4，即（a1＋2d）2＝a1·（a1＋3d）．

化简得a1d＋4d2＝0，因为d≠0，所以a1＋4d＝0，故得1 4； a

d

若删去a3，则有a2

2＝a1·a4，即（a1＋d）2＝a1·（a1＋3d）．

化简得a1d＝d2，因为d≠0，所以a1＝d，故得1 1． a

d

综上1 1或－4． a

d

②当n＝5 时，a1，a2，a3，a4，a5 中同样不可能删去首项或末项．

若删去a2，则有a1·a5＝a3·a4，即a1·（a1＋4d）＝（a1＋2d）·（a1＋3d）．

化简得a1d＋6d2＝0，因为d≠0，所以a1＋6d＝0，故得1 6； a

d

若删去a3，则a1·a5＝a2·a4，即a1·（a1＋4d）＝（a1＋d）·（a1＋3d）．

化简得3d2＝0，因为d≠0，所以也不能删去a3；

若删去a4，则有a1·a5＝a2·a3，即a1·（a1＋4d）＝（a1＋d）·（a1＋2d）．

化简得a1d＝2d2，因为d≠0，所以a1＝2d，故得1 2． a

d

当n≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a1，a2，a3，…，an－2，an－1，an 中，

由于不能删去首项或末项，若删去a2，则必有a1·an＝a3·a n－2，这与d≠0 矛盾；同样若删

去an－1 也有a1·an＝a3·a n－2，这与d≠0 矛盾；若删去a3，…，an－2 中任意一个，则必有

a1·an＝a2·a n－1，这与d≠0 矛盾．

综上所述，n∈{4，5}．

（Ⅱ）略

20．若为常数，且1 2 1 2 f (x) ? 3 x ?p1 , f (x) ? 2 ? 3 x ? p2 ,x ?R, p , p 1 1 2

2 1 2

( ), ( ) ( )

( )

( ), ( ) ( )

f x f x f x

f x

f x f x f x

≤

（Ⅰ）求( ) ( )对所有实数成立的充要条件（用表示）； 1 f x ? f x x 1 2 p , p

（Ⅱ）设a,b为两实数，a ? b且, ( , )，若， 1 2 p p ? a b f (a) ? f (b)

求证： f (x)在区间?a,b?上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）．

2

b ?a ?m,n? n ?m

解析本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用．

（Ⅰ） ( ) ( )恒成立1 f x ? f x 1 2 ? f (x)≤ f (x)

1 2

1 2

1 2 3

3 2 3

3 2

log 2 ( )

x p x p

x p x p

x p x p

?

?

≤

≤

≤

若p1＝p2，则，显然成立；若p1≠p2，记3 (?)? 0≤log 2 1 2 g (x) ? x ? p ? x ? p

当p1＞p2 时，

1 2 2

1 2 2 1

2 1 1

, ;

( ) 2 , ;

, .

p p x p

g x x p p p x p

p p x p

?

?

≤ ≤

所以，故只需． max 1 2 g (x) ? p ? p 1 2 3 p ? p ≤log 2

当p1＜p2 时，

1 2 1

1 2 1 2

2 1 2

, ;

( ) 2 , ;

, .

p p x p

g x x p p p x p

p p x p

?

?

?

≤ ≤

所以，故只需． max 2 1 g (x) ? p ? p 2 1 3 p ? p ≤log 2

综上所述， ( ) ( )对所有实数成立的充要条件是． 1 f x ? f x x 1 2 3 p ? p ≤log 2

（Ⅱ）1°如果，则的图象关于直线x＝p1 对称． 1 2 3 p ? p ≤log 2 ( ) ( ) 1 f x ? f x

因为f (a) ? f (b)，所以区间?a,b?关于直线x＝p1对称．

因为减区间为 ，增区间为，所以单调增区间的长度和为． 1 a, p 1p ,b

2

b ?a

2°如果，结论的直观性较强，一时未找到合适的说明方法．略． 1 2 3 p ? p ? log 2

求2008年江苏高考数学试卷（带答案的）

绝密★启用前

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学

本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的

准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．

2.选择题答案使用2B

铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择

题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

参考公式:

样本数据 , , , 的标准差

其中 为样本平均数

柱体体积公式

其中 为底面积， 为高

一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．

1. 的最小正周期为 ，其中 ，则 = ▲ ．

解析本小题考查三角函数的周期公式.

答案10

2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ．

解析本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故

答案

3. 表示为 ，则 = ▲ ．

解析本小题考查复数的除法运算．∵ ，∴ ＝0， ＝1，因此

答案1

4.A= ，则A Z 的元素的个数 ▲ ．

解析本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由 得 ,∵Δ＜0，∴集合A 为 ，因此A Z 的元素不存在．

答案0

5. ， 的夹角为 ， ， 则 ▲ ．

解析本小题考查向量的线性运算．

= ， 7

答案7

6.在平面直角坐标系 中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ．

解析本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．

答案

7.算法与统计的题目

8.直线 是曲线 的一条切线，则实数b＝ ▲ ．

解析本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令 得 ，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．

答案ln2－1

9在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程： ，请你求OF的方程：

（ ▲ ） .

解析本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填 ．事实上，由截距式可得直线AB： ，直线CP： ，两式相减得 ，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．

答案

10．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．

解析本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即 个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第 ＋3个，即为 ．

答案

11.已知 ， ，则 的最小值 ▲ ．

解析本小题考查二元基本不等式的运用．由 得 ，代入 得

，当且仅当 ＝3 时取“＝”．

答案3

12.在平面直角坐标系中，椭圆 1( 0)的焦距为2，以O为圆心， 为半径的圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 = ▲ ．

解析设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故 ，解得 ．

答案

13．若AB=2, AC= BC ，则 的最大值 ▲ ． ?

解析本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝ ，则AC＝ ，

根据面积公式得 = ，根据余弦定理得

，代入上式得

=

由三角形三边关系有 解得 ，

故当 时取得 最大值

答案

14. 对于 总有 ≥0 成立，则 = ▲ ．

解析本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论 取何值， ≥0显然成立；当x＞0 即 时， ≥0可化为，

设 ，则 ， 所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，因此 ，从而 ≥4；

当x＜0 即 时， ≥0可化为 ，

在区间 上单调递增，因此 ，从而 ≤4，综上 ＝4

答案4

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边做两个锐角 , ，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为 ．

（Ⅰ）求tan( )的值；

（Ⅱ）求 的值．

解析本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．

由条件的 ，因为 , 为锐角，所以 =

因此

（Ⅰ）tan( )=

（Ⅱ） ，所以

∵ 为锐角，∴ ，∴ =

16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分别是AB,BD 的中点，

求证：（Ⅰ）直线EF ‖面ACD ；

（Ⅱ）面EFC⊥面BCD ．

解析本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．

（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点，

∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF‖AD，

∵EF 面ACD ，AD 面ACD ，∴直线EF‖面ACD ．

（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF‖AD，∴ EF⊥BD.

∵CB=CD, F 是BD的中点，∴CF⊥BD.

又EF CF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD 面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．

17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,

CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为 km．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO= (rad)，将 表示成 的函数关系式；

②设OP (km) ，将 表示成x 的函数关系式．

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

解析本小题主要考查函数最值的应用．

（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO= (rad) ，则 , 故

，又OP＝ 10－10ta ，

所以 ，

所求函数关系式为

②若OP= (km) ，则OQ＝10－ ，所以OA =OB=

所求函数关系式为

（Ⅱ）选择函数模型①，

令 0 得sin ，因为 ，所以 = ，

当 时， ， 是 的减函数；当 时， ， 是 的增函数，所以当 = 时， 。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边

km处。

18．设平面直角坐标系 中，设二次函数 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：

（Ⅰ）求实数b 的取值范围；

（Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．

解析本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．

（Ⅰ）令 ＝0，得抛物线与 轴交点是（0，b）；

令 ，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为

令 ＝0 得 这与 ＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝ ．

令 ＝0 得 ＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．

所以圆C 的方程为 .

（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．

证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0 ＋1 ＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，

所以圆C 必过定点（0，1）．

同理可证圆C 必过定点（－2，1）．

19.（Ⅰ）设 是各项均不为零的等差数列（ ），且公差 ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

①当n =4时，求 的数值；②求 的所有可能值；

（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列 ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．

解析本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．

（Ⅰ）①当n＝4 时， 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d＝0．

若删去 ，则有 即

化简得 ＝0，因为 ≠0，所以 =4 ；

若删去 ，则有 ，即 ，故得 =1．

综上 =1或－4．

②当n＝5 时， 中同样不可能删去首项或末项．

若删去 ，则有 ＝ ，即 ．故得 =6 ；

若删去 ，则 ＝ ，即 ．

化简得3 ＝0，因为d≠0，所以也不能删去 ；

若删去 ，则有 ＝ ，即 ．故得 = 2 ．

当n≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列 ， ， ，…， ， ， 中，

由于不能删去首项或末项，若删去 ，则必有 ＝ ，这与d≠0 矛盾；同样若删

去 也有 ＝ ，这与d≠0 矛盾；若删去 ，…， 中任意一个，则必有

＝ ，这与d≠0 矛盾．

综上所述，n∈{4，5}．

（Ⅱ）略

20.若 ， ， 为常数，

且

（Ⅰ）求 对所有实数成立的充要条件（用 表示）；

（Ⅱ）设 为两实数， 且 ,若

求证： 在区间 上的单调增区间的长度和为 （闭区间 的长度定义为 ）．

解析本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用．

（Ⅰ） 恒成立

（*）

因为

所以，故只需 （*）恒成立

综上所述， 对所有实数成立的充要条件是：

（Ⅱ）1°如果 ，则的图象关于直线 对称．因为 ，所以区间 关于直线 对称．

因为减区间为 ，增区间为 ，所以单调增区间的长度和为

2°如果 .

（1）当 时. ，

当 ， 因为 ，所以 ，

故 =

当 ， 因为 ，所以

故 =

因为 ，所以 ，所以 即

当 时，令 ，则 ，所以 ，

当 时， ，所以 =

时， ，所以 =

在区间 上的单调增区间的长度和

=

（2）当 时. ，

当 ， 因为 ，所以 ，

故 =

当 ， 因为 ，所以

故 =

因为 ，所以 ，所以

当 时，令 ，则 ，所以 ，

当 时， ，所以 =

时， ，所以 =

在区间 上的单调增区间的长度和

=

综上得 在区间 上的单调增区间的长度和为

近10年江苏高考数学平均分

绝密★启用前

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学

本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的

准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．

2.选择题答案使用2B

铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择

题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

参考公式:

样本数据 , , , 的标准差

其中 为样本平均数

柱体体积公式

其中 为底面积， 为高

一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．

1. 的最小正周期为 ，其中 ，则 = ▲ ．

本小题考查三角函数的周期公式.

10

2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ．

本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故

3. 表示为 ，则 = ▲ ．

本小题考查复数的除法运算．∵ ，∴ ＝0， ＝1，因此

1

4.A= ，则A Z 的元素的个数 ▲ ．

本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由 得 ,∵Δ＜0，∴集合A 为 ，因此A Z 的元素不存在．

0

5. ， 的夹角为 ， ， 则 ▲ ．

本小题考查向量的线性运算．

= ， 7

7

6.在平面直角坐标系 中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ．

本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．

7.算法与统计的题目

8.直线 是曲线 的一条切线，则实数b＝ ▲ ．

本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令 得 ，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．

ln2－1

9在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程： ，请你求OF的方程：

（ ▲ ） .

本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填 ．事实上，由截距式可得直线AB： ，直线CP： ，两式相减得 ，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．

10．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．

本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即 个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第 ＋3个，即为 ．

11.已知 ， ，则 的最小值 ▲ ．

本小题考查二元基本不等式的运用．由 得 ，代入 得

，当且仅当 ＝3 时取“＝”．

3

12.在平面直角坐标系中，椭圆 1( 0)的焦距为2，以O为圆心， 为半径的圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 = ▲ ．

设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故 ，解得 ．

13．若AB=2, AC= BC ，则 的最大值 ▲ ． ?

本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝ ，则AC＝ ，

根据面积公式得 = ，根据余弦定理得

，代入上式得

=

由三角形三边关系有 解得 ，

故当 时取得 最大值

14. 对于 总有 ≥0 成立，则 = ▲ ．

本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论 取何值， ≥0显然成立；当x＞0 即 时， ≥0可化为，

设 ，则 ， 所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，因此 ，从而 ≥4；

当x＜0 即 时， ≥0可化为 ，

在区间 上单调递增，因此 ，从而 ≤4，综上 ＝4

4

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边做两个锐角 , ，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为 ．

（Ⅰ）求tan( )的值；

（Ⅱ）求 的值．

本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．

由条件的 ，因为 , 为锐角，所以 =

因此

（Ⅰ）tan( )=

（Ⅱ） ，所以

∵ 为锐角，∴ ，∴ =

16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分别是AB,BD 的中点，

求证：（Ⅰ）直线EF ‖面ACD ；

（Ⅱ）面EFC⊥面BCD ．

本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．

（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点，

∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF‖AD，

∵EF 面ACD ，AD 面ACD ，∴直线EF‖面ACD ．

（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF‖AD，∴ EF⊥BD.

∵CB=CD, F 是BD的中点，∴CF⊥BD.

又EF CF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD 面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．

17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,

CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为 km．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO= (rad)，将 表示成 的函数关系式；

②设OP (km) ，将 表示成x 的函数关系式．

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

本小题主要考查函数最值的应用．

（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO= (rad) ，则 , 故

，又OP＝ 10－10ta ，

所以 ，

所求函数关系式为

②若OP= (km) ，则OQ＝10－ ，所以OA =OB=

所求函数关系式为

（Ⅱ）选择函数模型①，

令 0 得sin ，因为 ，所以 = ，

当 时， ， 是 的减函数；当 时， ， 是 的增函数，所以当 = 时， 。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边

km处。

18．设平面直角坐标系 中，设二次函数 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：

（Ⅰ）求实数b 的取值范围；

（Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．

本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．

（Ⅰ）令 ＝0，得抛物线与 轴交点是（0，b）；

令 ，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为

令 ＝0 得 这与 ＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝ ．

令 ＝0 得 ＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．

所以圆C 的方程为 .

（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．

证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0 ＋1 ＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，

所以圆C 必过定点（0，1）．

同理可证圆C 必过定点（－2，1）．

19.（Ⅰ）设 是各项均不为零的等差数列（ ），且公差 ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

①当n =4时，求 的数值；②求 的所有可能值；

（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列 ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．

本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．

（Ⅰ）①当n＝4 时， 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d＝0．

若删去 ，则有 即

化简得 ＝0，因为 ≠0，所以 =4 ；

若删去 ，则有 ，即 ，故得 =1．

综上 =1或－4．

②当n＝5 时， 中同样不可能删去首项或末项．

若删去 ，则有 ＝ ，即 ．故得 =6 ；

若删去 ，则 ＝ ，即 ．

化简得3 ＝0，因为d≠0，所以也不能删去 ；

若删去 ，则有 ＝ ，即 ．故得 = 2 ．

当n≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列 ， ， ，…， ， ， 中，

由于不能删去首项或末项，若删去 ，则必有 ＝ ，这与d≠0 矛盾；同样若删

去 也有 ＝ ，这与d≠0 矛盾；若删去 ，…， 中任意一个，则必有

＝ ，这与d≠0 矛盾．

综上所述，n∈．

（Ⅱ）略

20.若 ， ， 为常数，

且

（Ⅰ）求 对所有实数成立的充要条件（用 表示）；

（Ⅱ）设 为两实数， 且 ,若

求证： 在区间 上的单调增区间的长度和为 （闭区间 的长度定义为 ）．

本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用．

（Ⅰ） 恒成立

（*）

因为

所以，故只需 （*）恒成立

综上所述， 对所有实数成立的充要条件是：

（Ⅱ）1°如果 ，则的图象关于直线 对称．因为 ，所以区间 关于直线 对称．

因为减区间为 ，增区间为 ，所以单调增区间的长度和为

2°如果 .

（1）当 时. ，

当 ， 因为 ，所以 ，

故 =

当 ， 因为 ，所以

故 =

因为 ，所以 ，所以 即

当 时，令 ，则 ，所以 ，

当 时， ，所以 =

时， ，所以 =

在区间 上的单调增区间的长度和

=

（2）当 时. ，

当 ， 因为 ，所以 ，

故 =

当 ， 因为 ，所以

故 =

因为 ，所以 ，所以

当 时，令 ，则 ，所以 ，

当 时， ，所以 =

时， ，所以 =

在区间 上的单调增区间的长度和

=

综上得 在区间 上的单调增区间的长度和为

江苏卷数学哪年最难?

2008年单科平均分：数学98分、英语67、语文93-94（不含附加）

2009年单科平均分：数学83.5、英语73

2010年单科平均分：语文92-94 、英语72-74、数学91。

扩展资料：

2019年4月23日下午,江苏省人民政府召开了深化江苏省普通高校招生制度改革方案的测试的新闻发布会上,江苏省教育部门的主任,江苏省委教育工作委员会部长GeDaoKai做全面,宣布正式启动新一轮的江苏省高考综合改革,江苏省新一轮高考改革的主要模式为“3 + 1 + 2”。总分是750分。在国家卷中使用的语言数量。

“3”是指统考中语文、数学、外语三科。“1”是指考生在物理、历史两门选修考试科目中选择了一门科目，“2”是指考生在思想政治、地理、化学、生物四门选修考试科目中选择了两门科目。

08年之前是2003年的最难，只有2003年，150分的卷子平均分在50左右。从08年以后来看。江苏数学卷2012、2010年都是比较难的，然后2011、2008年是难度中等偏上的，2009、2013、2015、2017是难度中等偏下的，2014、2018年是很简单的。

其实在2003年高考时，不只是江苏省，而是全国的数学卷都是“史诗级”难度：因为在高考前四川南充的考生张博，在原本能考上普通高校的情况下**了高考试卷，使得全国的高考数学卷都换成了备用卷，因而难度大大提升了。

江苏卷数学难的原因：

1、高考数学没有选择题

江苏的高考数学是没有选择题的。江苏卷直接上来先给你14个填空题热热身，或许在题干的难度上，2019江苏卷填空题并不比其它省份选择题难多少，但是没有选项可以排除，不会或者答错就是零没有猜对的25%几率。

选择题和填空题的答题难度可谓是天壤之别，有时候填空比解答题还要难，因为解答题起码还有个过程分，而填空题只看结果。

在高考总分只有480的江苏，5分可以说显得更为珍贵，以2018年理科为例，南京大学投档线为391，而东南大学为388，南京理工大学投档线378，可以说各层次高校之间的差距也就是一两道填空题的距离。

2、理科大题难度大，选做题分值低

但是由于填空题和选择题的差别，留给大题的时间至少少了10分钟肯定是有的，江苏大题分值较高，大多都为14分~16分，最要命的是解题步骤都较为繁琐。

14分值的有两个问题，16分值的有三个问题，为了2分多出一个难度大的问题，真是拼了。今年的第一个选修题可以说比较良心，送分题。

最后的压轴选修题可以说是难度大分值少（10分），大家可以去搜一下标准答案，光是看着标准答案理清头绪都得半天，10分题的难度丝毫不比16分的低。

3、知识点贴近大学数学

一般中学数学的了解知识难点，在江苏都是必须掌握的知识，看了江苏高考数学卷，真的不少题目就是大学才能看到的高数、线代和概率统计的结合体。

向量、各种曲线、导数、矩阵变换及特征值、极坐标、随机变量等知识点各种相互组合。难度最大的是江苏数学后面大题朝着一种综合分析问题的方向走，比如第18题的解答中，光是点P和Q的位置讨论就进行了多次，考察的就是针对问题，看你能不能考虑全面，稍有不慎就会漏掉某种情况。

就是不知道具体判题赋分是怎样的，假如前两问能得到10分以上，我就把第三问留着最后做，因为付出与收获实在不成正比。