数列通项题型及解题方法_数列通项高考

1.常见8个数列的通项公式是什么？

2.数列的通项和求和的知识点需要注意的有：

3.求数列求通式的方法

参见我对的回答：

题:数列中，a1=1,a2=2,

a(n+2)=-a(n+1)+2an

（a后的括号代表下标）求an通项

引:

一般书上讲到特征(方程)根(值)法,发生函数(母函数,生成函数)法,差分方程法,大都只讲其然而不讲其所以然.其实,很容易理解的.

高中课程中,主要讲等差数列,等比数列;复杂的问题,也通过转化为这两者来解决.我们可以看到,其递推式:an=a(n-1)+d;an=qa(n-1),均是一阶递推关系(阶数:即式中未知项的下标差),其一般形为an+xa(n-1)+y=0.

可以通过简单的转化,求得an+xa(n-1)+y=0型递推关系的解,即求得通项an.

关于此，请见下文（&&&）

对于二阶递推式,可以转化为一阶关系来求解.这正与我们研究二次方程时将它转化为两个一次方程一样.正鉴于此,人们在此基础上进一步总结,最后脱离了转化过程,象下围棋的定式一般,总结到了方法,得到了公式,于是就有了特征根法,等等.

解:

构造等式:

a(n+2)-xa(n+1)-y(a(n+1)-xan)=0(***)

即:a(n+2)-(x+y)a(n+1)+xyan=0

与a(n+2)+a(n+1)-2an＝0比较可知:

x,y是方程zz+z-2=0的两根.

(***)式说明:a(n+2)-xa(n+1)是公比为y的等比数列;

于是

a(n+1)-xan=函数f(n)=y^(n-1)(a2-xa1)

(###1)

再构造f(n)=g(n+1)-xg(n)

,从而取an=g(n).

下面另做一个实例（@@@）说明

另外,根据x,y的对称性,

可将(***)式等效转化为

a(n+2)-ya(n+1)-x(a(n+1)-yan)=0(***)

也即:a(n+2)-ya(n+1)是公比为x的等比数列.

于是当x,y不等时,还可得到

a(n+1)-yan=x^(n-1)(a2-ya1)

(###2)

由###1,2两式可以方便地得到an.

在这里,我们可以总结出经验,

an形如ax^n+by^n,系数a,b除可由上面###1,2两式直接得到之外,

但我们既然已经知道了an形如ax^n+by^n

用初始两项a2=ax^2+by^2,a1=ax+by求得则更快.

这便是待定系数法了.

又例：

已知：xa(n)＝ya(n-1)＋z

（*1）

问：如何构造出等比数列，从而求出通项a(n)

解：设xa(n)-u=v(xa(n-1)-u)

（*2）

与xa(n)＝ya(n-1)＋z比较，得

vx＝y，u-uv＝z

解之得：v＝y/x，u＝z/(1-v)＝xz/(x-y)

拓展：

style="font-size: 18px;font-weight: bold;border-left: 4px solid #a10d00;margin: 10px 0px 15px 0px;padding: 10px 0 10px 20px;background: #f1dada;">常见8个数列的通项公式是什么？

求数列通项的几种方法

近年的高考中出现了给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式）求通项公式的问题.对于这类问题学生感到困难较大.本文以例子介绍这类问题求通项公式的初等方法和技巧，以供教学参考.

1、叠加法

数列有形如an+1=an+f(n)的解析式，而f(1)+f(2)+……+f(n)的和是可求的，可用多式相加法求得an.

例1.在数列{an}中，a1=－1，an+1= an+2n，求an（n≥2）.

解：由条件，a2=a1+2×1,a3=a2+2×2……，an= an－1+n(n?0?1－1)，以上n－1个式子相加化简得：an?0?1?0?1=a1+n(n－1)=n?0?1?0?12－n－1.

2、叠乘法

数列有形如an=f(n)?6?1an－1的解析关系，而f(1)?6?1f(2)……f(n)的积是可求的，可用多式相乘法求得an.

例2．在数列{an}中， ≥2），求 .

解：由条件 an－1,

这n－1个式子相乘化简得：

.

3、待定系数法

数列有形如 、b为常数）的线性递推关系，可用待定系数法求得an.

例3．在数列{an}中， 求 .

解：在 的两边同加待定数 ，得 +（ －1）/3），令 得 数列{ 是公比为3的等比数列,

∴an =

4、分解因式法

当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得an.

例4．已知 数列 满足 （n∈ ），且有条件 ≥2）.

解：由得：

对n∈ ， 再由待定系数法得：

∴

5、求差法

数列有形如 的关系（非递推关系），可考虑用求差 后，再用其它初等方法求得

例5．设 是正数组成的数列，其前 项和为 ，并且对于所有的自然数 与2的等差中项等于 与2的等比中项：

（1）写出数列 的前3项；

（2）求数列 的通项公式.

出题者的意图是：通过（1）问求出数列前3项再猜想出通项公式；（2）再用数学归纳法证明猜想正确.实际上用求差法求通项公式更简单.

解：（1）略

（2）由条件，得

即 ①

②

①－②得 ，

即

分解因式得

对于 ∈ ＞0，∴

∴ 是公差为4的等差数列，

6、倒数法

数列有形如 的关系，可在等式两边同乘以 先求出

例6．设数列 满足 求

解：原条件变形为 两边同乘以 得 .

∵

∴

7、复合数列构成等差、等比数列法

数列有形如 的关系，可把复合数列化为等差数列或等比数列，再用其它初等方法求得

例7．在数列 中， 求

解：由条件

∴

∴ 再用多式相加法可得：

8、循环法

数列有形如 的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环关系而求出

例8．在数列 中，

解：由条件

即

即每间隔6项循环一次.1998=6×333，

∴

9、开方法

对有些数列，可先求 再求

例9．有两个数列 它们的每一项都是正整数，且对任意自然数 、 、 成等差数列， 、 、 成等比数列，

解：由条件有：

由②式得： ③

④

把③、④代入①得： ，

变形得 ）.

∵ ＞0，∴ － .

∴ 是等差数列.因

∴ 故

数列的通项和求和的知识点需要注意的有：

常见8个数列的通项公式是等差数列、等比数列、一阶数列、二阶数列、累加法、累乘法、构造法、连加相减法。

分别如下:

等差数列：对于一个数列{ an}，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差为公差，记为 d ；从第一项 a1到第n项 an的总和，记为Sn。通项公式为：an=a1+(n-1)*d。

等比数列：对于一个数列 {an}，如果任意相邻两项之商（即二者的比）为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比 q ；从第一项a1 到第n项an 的总和，记为Tn 。通项公式为an=a1*q(n-1)。

一阶数列：an=an-1 + d , 而等比数列的递推式为 an =an-1 * q ； 这二者可看作是一阶数列的特例。

故可定义一阶递归数列形式为： an+1= A *an + B ········ , 其中A和B 为常系数。那么，等差数列就是A=1 的特例，而等比数列就是B=0 的特例。

二阶数列：类比一阶递归数列概念，不妨定义同时含有an+2、an+1、an的递推式为二阶数列，而对与此类数列求其通项公式较一阶明显难度大了。为方便变形，可以先如此诠释二阶数列的简单形式。

累加法：递推公式为a(n+1)=an+f(n)。

累乘法：递推公式为a(n+1)/an=f(n)。

构造法：将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列。

连加相减法：{an}满足a?+ 2a?+ 3a?+……+ nan = n(n+1)(n+2)。

求数列求通式的方法

数列的通项公式与求和的常用方法

高考要求

数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法

重难点归纳

1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性

3 求通项常用方法

①作新数列法 作等差数列与等比数列

②累差叠加法 最基本形式是

an=(an－an－1+(an－1+an－2)+?+(a2－a1)+a1

③归纳、猜想法

4 数列前n项和常用求法

①重要公式

1+2+?+n=1

2n(n+1)

1

612+22+?+n2=n(n+1)(2n+1)

113+23+?+n3=(1+2+?+n)2=4

②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn n2(n+1)2

③裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项

1

n(n?1)?1

n?1

n?1,n?n!?(n?1)!?n!,

1111sin2?ctgα?ctg2α, ?1r?1rCn?C?Cnnn,(n?1)!?n!(n?1)!?等

④错项相消法

⑤并项求和法

数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法

典型题例示范讲解

例1已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，

一、定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例1．等差数列 是递增数列，前n项和为 ，且 成等比数列， ．求数列 的通项公式

解：设数列 公差为

∵... 成等比数列，∴... ，

即... ，得...

∵ ，∴ ……………………①

∵

∴ …………②

由①②得：...... ，

∴

点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

二、累加法

求形如an-an-1=f(n)（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n—1得到n—1个式子累加求得通项。

例2．已知数列{an}中，a1=1，对任意自然数n都有 ，求 ．

解：由已知得 ，

，……，

， ，

以上式子累加，利用 得 - =

= ，

点评：累加法是反复利用递推关系得到n—1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n—1项的和，要注意求和的技巧．

三、迭代法

求形如 (其中 为常数) 的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。

例3．已知数列{an}满足a1=1，且an+1 = +1，求 ．

解：an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=32an-2+3 1+1=…=3n-1a1+3n-2 1+3n-3 1+…+3 1+1=

点评：因为运用迭代法解题时，一般数据繁多，迭代时要小心计算，应避免计算错误，导致走进死胡同．

四、公式法

若已知数列的前 项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式 求解。

例4．已知数列 的前 项和 满足 ．求数列 的通项公式；

解：由

当 时，有

……，

经验证 也满足上式，所以

点评：利用公式 求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．

五、累乘法

对形如 的数列的通项，可用累乘法，即令n=2，3，…n—1得到n—1个式子累乘求得通项。

例5．已知数列 中， ，前 项和 与 的关系是 ，求通项公式 ．

解：由 得

两式相减得： ，

，

将上面n—1个等式相乘得：

点评：累乘法是反复利用递推关系得到n—1个式子累乘求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n—1项的积，要注意求积的技巧．

六、分n奇偶讨论法

在有些数列问题中，有时要对n的奇偶性进行分类讨论以方便问题的处理。

例6．已知数列{an}中，a1=1且anan+1=2 ，求通项公式．

解：由anan+1=2 及an+1an+2=2 ，两式相除，得 = ，则a1,a3,a5,…a2n-1，…和a2,a4,a6,…a2n，…都是公比为 的等比数列，又a1=1,a2= ，则：（1）当n为奇数时， ；（2）当n为偶数时， ．综合得

点评：对n的奇偶性进行分类讨论的另一种情形是题目中含有 时，分n为奇偶即可自然引出讨论．分类讨论相当于增加条件,变不定为确定．注意最后能合写时一定要合并。这是近年高考的新热点，如05年高考江西卷文科第21题．

七、化归法

想方设法将非常规问题化为我们熟悉的数列问题来求通项公式的方法即为化归法．同时，这也是我们在解决任何数学问题所必须具备的一种思想。

例7．已知数列 满足

求an

解：当

两边同除以 ，

即 成立，

∴ 首项为5，公差为4的等差数列．

点评：本题借助 为等差数列得到了 的通项公式，是典型的化归法．常用的化归还有取对数化归，待定系数化归等，一般化归为等比数列或等差数列的问题，是高考中的常见方法．

八、“归纳—猜想—证明”法

直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法．

例8．若数列 满足： 计算a2，a3，a4的值，由此归纳出an的公式，并证明你的结论．

解：∵a2=2 a1+3×2°=2×1+3×2°，

a3=2（2×1+3×2°）+3×21=22×1+2×3×21，

a4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22；

猜想an=2n－1+（n－1）×3×2n－2=2n－2（3n－1）；

用数学归纳法证明：

1°当n=1时，a1=2－1×=1，结论正确；

2°假设n=k时，ak=2k－2（3k－1）正确，

∴当n=k+1时，

= 结论正确；

由1°、2°知对n∈N*有

点评：利用“归纳—猜想—证明”法时要小心猜测，切莫猜错，否则前功尽弃；用数学归纳法证明时要注意格式完整，一定要使用归纳假设．

九、待定系数法（构造法）

求递推式如 （p、q为常数）的数列通项，可用待定系数法转化为我们熟知的数列求解，相当如换元法。

例9．已知数列{an}满足a1=1，且an+1 = +2，求 ．

解：设 ，则 ，

， 为等比数列，

，

点评：求递推式形如 （p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列an+1+ =p(an+ )来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．

例10．已知数列 满足 求an．

解：将 两边同除 ，得 ，变形为 ．

设 ，则 ．令 ，

得 ．条件可化成 ，

数列 为首项， 为公差的等比数列．

．因 ，所以 =

得 = ．

点评：递推式为 （p、q为常数）时，可同除 ，得 ，令 从而化归为 （p、q为常数）型．

例11．已知数列 满足 求an．

解：设 ....

展开后，得 ....．

由 ，解得.... ，

条件可以化为

得数列... 为首项，... 为公差的等比数列， ．问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得 ．

点评：递推式为 （p、q为常数）时，可以设 ，其待定常数s、t由 求出，从而化归为上述已知题型．