湖南高考数学试卷2021答案,湖南数学高考答案

1.麻烦写下2008湖南高考数学理科卷填空第十五题解答过程

2.有关数学高考题

2015年湖南高考数学试卷答案点评和难度解析一、考点分布

2015年湖南高考数学考查的考点有复数的计算、充要条件的判定、抽样方法、函数的基本性质、解三角形、函数的图像、三视图、平面向量、频数与频率、事件的概率、集合的基本运算、直线的方程、程序框图、线性规划、双曲线的基本概念和性质、新定义题型、三角函数的求值与不等式求解、线面垂直的性质和判定、棱锥的体积的计算公式、数列的通项及前n项和的求法、圆的标准方程、直线和圆锥曲线的位置关系、指数函数的性质、函数的单调性及单调区间、应用导数判断函数的零点等，充分体现了主干知识重点考查的命题思想.

二、数学思想与方法的考查

2013年湖南高考数学注重数学思想与方法的考查,考查函数与方程思想的试题是第4, 21题,考查数形结合思想的试题是第6,14,21题,考查分类与整合思想的试题是第9,22题,考查化归与转化思想的试题是第5, 21题,同时第15题考查考生的创新意识,第18题考查考生的应用意识.

三、试卷结构与难度

2013年湖南高考数学试卷结构整体保持稳定,选择题保持为去年的9道,填空题由7道变为6道,解答题的分布由去年的概率、三角函数、立体几何、实际应用题、解析几何、函数导数不等式数列综合题变为三角函数、立体几何、概率、数列、解析几何、函数导数不等式综合题.同时在三类题型均命制一些基础题,在使考生能得到一定的基本分的前提下加大试题难度.（天星学堂名师教研团 长沙一中高级教师　蒋老师）

麻烦写下2008湖南高考数学理科卷填空第十五题解答过程

7．下列叙述中正确的是

A．液溴易挥发，在存放液溴的试剂瓶中应加水封

B．能使润湿的淀粉KI试纸变成蓝色的物质一定是Cl2

C．某溶液加入CCl4，CCl4层显紫色，证明原溶液中存在I－

D．某溶液加入BaCl2溶液，产生不溶于稀硝酸的白色沉淀，该溶液一定含有Ag＋

答案：A

解析：此题为基础题，B答案在考前多个试题里面都出现过，因为除了氯气外，其它的如臭氧都可以将其氧化得到碘单质。C答案应该是碘单质，D答案不能排除硫酸根的干扰。

8．下列说法中正确的是

A．医用酒精的浓度通常为95％

B．单质硅是将太阳能转变为电能的常用材料

C．淀粉、纤维素和油脂都属于天然高分子化合物

D．合成纤维和光导纤维都是新型无机非金属材料

答案：B答案

解析：此题为基础题。A答案应该为75%，C中油脂不为高分子化合物，这个选项也在考前多个试题里出现

D答案光导纤维为二氧化硅，合成纤维为有机材料，这个选项多个试题也出现，从前面两个题看来，还是没什么创新，或者考前已经被很多老师抓住题了。

9．用NA表示阿伏加德罗常数的值。下列叙述中不正确的是

A．分子总数为NA的NO2和CO2混合气体中含有的氧原子数为2NA

B．28 g乙烯和环丁烷(C4H8)的混合气体中含有的碳原子数为2 NA

C．常温常压下，92 g的NO2和N2O4混合气体含有的原子数为6 NA

D．常温常压下，22.4L氯气与足量镁粉充分反应，转移的电子数为2 NA

答案：D

解析：此题为基础题，尤其C选项平时学生练习过多次，估计每位参加高考的学生至少做个3-4次。D选项因为是常温常压下，气体的体积与状态有关系。

10．分子式为C5H12O且可与金属钠反应放出氢气的有机化合物有(不考虑立体异构)

A．5种 B．6种 C．7种 D．8种

答案:D

解析：此题也为基础题，也没什么新意，首先写出戊烷的同分异构体（3种），然后用羟基取代这些同分异构体就可以得出有3+4+1=8种这样的醇

11．已知温度T时水的离子积常数为KW。该温度下，将浓度为a mol/L的一元酸HA与b mol/L的一元碱BOH等体积混合，可判定该溶液呈中性的依据是

A．a = b

B．混合溶液的pH = 7

C．混合溶液中，c(H＋) = mol/L

D．混合溶液中，c(H＋) + c(B－) = c(OH－) + c(A－)

答案：C

解析：此题为中档题，A答案中a=b,但是无法知道酸与碱是否为强酸、强碱，反应后不一定成中性。B答案PH=7，因为温度不一定为常温25℃，同样也不能说明中性的。C答案也就是C(H+)=C(OH-),溶液当然显中性。D答案是溶液中的电荷守衡，无论酸、碱性一定成立，不能说明溶液就显中性。

12．分析下表中各项的排布规律，按此规律排布第26项应为

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C2H4 C2H6 C2H6O C2H4O2 C3H6 C3H8 C3H8O C3H6O2 C4H8 C4H10

A．C7H16 B．C7H14O2 C．C8H18 D．C8H18O

答案:C

解析：此题为中档题，其实这道题更象是一个简单的数学题，不需要过多的化学知识，不过学生平时估计也碰到过这种找多少项为什么的类似题。有多种做法，比如我们把它分为4循环，26=4ⅹ6+2，也就是说第24项为C7H14O2,接着后面就是第25项为C8H16,这里面要注意的是第一项是从2个碳原子开始的。

13．短周期元素W、X、Y、Z的原子序数依次增大，其中W的阴离子的核外电子数与X、Y、Z原子的核外内层电子数相同。X的一种核素在考古时常用来鉴定一些文物的年代，工业上采用液态空气分馏方法来生产Y的单质。而Z不能形成双原于分子。根据以上叙述，下列说法中正确的是

A．上述四种元素的原子半径大小为W < X < Y < Z

B．W、X、Y、Z原子的核外最外层电子数的总和为20

C．W与Y可形成既含极性共价键又含非极性共价键的化合物

D．由W与X组成的化合物的沸点总低于由W与Y组成的化合物的沸点

答案：C

解析：此题中档题，重要的是推出W:H X:C Y:N Z:Ne或者Ar

A选项应该是X>Y,Z为稀有气体原子又有增大的趋势，B答案总和应该为1+4+5+8=18

C也就是氢与氧既可以生成水，也可以生成双氧水。D答案要注意H,C形成的烃中，如果碳原子很多的时候，形成的烃为液态或固态。总体来说这次选择题还是比较简单的，学生失分都不会很大。

26．(14分)

铁是应用最广泛的金属，铁的卤化物、氧化物以及高价铁的含氧酸盐均为重要化合物。

(1)要确定铁的某氯化物FeClx的化学式，可用离子交换和漓定的方法。实验中称取0.54 g的FeClx样品，溶解后先进行阳离子交换预处理，再通过含有饱和OH－的阴离子交换柱，使Cl－和OH－发生交换。交换完成后，流出溶液的OH－用0.40 mol/L的盐酸滴定，滴至终点时消耗盐酸25.0 mL。计算该样品中氯的物质的量，并求出FeClx中，x值：———(列出计算过程)；

(2)现有一含有FeCl2和FeCl3的混合物样品，采用上述方法测得n(Fe)：n(C1)=1：2.1，则该洋品中FeCl3的物质的量分数为__________。在实验室中，FeCl2可用铁粉和__________反应制备，FeCl3可用铁粉和__________反应制备；

(3)FeCl3与氢碘酸反应时可生成棕色物质，该反应的离子方程式为________________；

(4)高铁酸钾(K2FeO4)是一种强氧化剂，可作为水处理剂和高容量电池材料。FeCl3与KClO在强碱性条件下反应可制取K2FeO4，其反应的离子方程式为________________。与MnO2－Zn电池类似，K2FeO4－Zn也可以组成碱性电池，K2FeO4在电池中作为正极材料，其电极反应式为________________，该电池总反应的离子方程式为________________。

答案：

解析：此题为中档题，前3问这里面就不说了，在计算第一问X值的时候，完全可以把x=2或者x=3代入，这样可以节损时间。第四问也是近几年多次考到的高铁酸钾，有关高铁酸钾的制备与电化学，第四小问考查化学基本功，这里面有很好的区分度，扎实的同学拿满分没问题。第一个方程式多次书写过，第二个方程式，很多同学觉得无法书写，其实首先写大体物质，高铁酸根被还原为Fe3+,然后再写出转移的电子数，根据电荷守衡，因为溶液是碱性的，所以产物只能写成8个OH-,一个Fe3+结合3个OH-生成Fe(OH)3,因为负极反应式为Zn-2e-=Zn2+最后一个方程式只需要综合得失电子守衡就可以得出正确答案。

27．(15分)

光气(COCl2)在塑料、制革、制药等工业中有许多用途，工业上采用高温下CO与Cl2在活性炭催化下合成。

(1)实验室中常用来制备氯气的化学方程式为 Mno2+4Hcl(浓) MnCl2+Cl2↑+2H2O；

(2)工业上利用天然气(主要成分为CH4)与CO2进行高温重整制各CO，已知CH4、H2和CO的燃烧热(△H)分别为－890.3 kJ/mol、－285.8kJ/mol和－283.0 kJ/mol，则生成1 m3(标准状况)CO所需热量为__________；

(3)实验室中可用氯仿(CHCl3)与双氧水直接反应制备光气，其反应的化学方程式为________________；

(4)COCl2的分解反应为COCl2(g) === Cl2(g) + CO(g) △H = +108 kJ/mol。反应体系达到平衡后，各物质的浓度在不同条件下的变化状况如下图所示(第10 min到14 min的COCl2浓度变化曲线来示出)：

①计算反应在第8 min时的平衡常数K = __________

②比较第2 min反应温度T(2)与第8 min反应温度(T8)的高低：T(2)____T(8)(填“<”、“>”或“=”)；

③若12 min时反应于温度T(8)下重新达到平衡，则此时c(COCl2) = ______mol/L；

④比较产物CO在2～3 min、5～6 min和12～13 min时平均反应速率[平均反应速率分别以 (2—3)、 (5—6)、 (l2－13)表示]的大小____________；

⑤比较反应物COCl2在5－6 min和15－16 min时平均反应速率的大小：

(5－6) > (15－16)(填“<”、“>”或“=”)，原因是_______________。

答案：

解析：此题中挡题，拿满分较难（不过第四问中的①③的答案确实有待商榷，为什么都要保留到小数点后三位，从题目中能看出来吗？）体现在计算麻烦上，第二问其实出题人完全直接说甲烷的燃烧热为890.3kJ/mol,…这样很多同学在计算反应热的时候更容易错。因为反应为CH4+CO2=2CO+2H2 △H=反应物的燃烧热-产物的燃烧热=247.3 KJ/mol，也就是生成2mol CO，需要吸热247.3 KJ，那么要得到1立方米的CO,放热为(1000/22.4)×247.3/2=5.52×103 KJ.第三问要根据电负性分析碳元素化合价的变化，CHCl3碳为+2价，COCl2中碳为+4价，即可写出方程式。第四问，①根据K计算公式即可求出，但是答案为什么只保留三位小数值得商榷，②同时计算T2时的K值很明显小于T8时的K值，说明是升高温度平衡正向移动的原因。③题目说了是不同条件下的平衡状态，那么后面温度就不会改变。根据K值可计算C(COCl2).④因为5-6分钟，CO浓度在改变所以平均反应速率大于其它的，因为处于平衡状态，根据V的计算公式，2-3、12-13的平均反应速率为0。⑤因为5-6分钟时浓度改变大于12-13。

28．(14分)

溴苯是一种化工原料，实验室合成溴苯的装置示意图及有关数据如下：

按下列合成步骤回答问题：

(1)在a中加入15 mL无水苯和少量铁屑。在b中小心加入4.0 mL液态溴。向a中滴入几滴溴，有白色烟雾产生，是因为生成了__________气体。继续滴加至液溴滴完。装置d的作用是____________________________________；

(2)液溴滴完后，经过下列步骤分离提纯：

①向a中加入10 mL水，然后过滤除去未反应的铁屑；

②滤液依次用l0 mL水、8 mL l0％的NaOH溶液、10 mL水洗涤。NaOH溶液洗涤的作用是除去HBr和未反应的Br2；

③向分出的粗溴苯中加入少量的无水氯化钙，静置、过滤。加入氯化钙的目的是______；

(3)经以上分离操作后，粗溴苯中还含有的主要杂质为______，要进一步提纯，下列操作中必须的是______(填入正确选项前的字母)；

A重结晶 B过滤 C蒸馏 D萃取

(4)在该实验中，a的容积最适合的是______(填入正确选项前的字母)。

A 25 mL B 50 mL C 250 mL D 509 mL

答案：

解析：此题为基础题，老师上课讲苯与液溴的实验时，都会讲到大部分，不知命题人出这题是为了什么？这道实验题反成了拿高分的试题。这里就不多说了。

36．化学——选修2化学与技术(15分)

由黄铜矿(主要成分是CuFeS2)炼制精铜的工艺流程示意图如下：

(1)在反射炉中，把铜精矿砂和石英砂混合加热到l000℃左右，黄铜矿与空气反应生成Cu和Fe的低价硫化物，且部分Fe的硫化物转变为低价氧化物。该过程中两个主要反应的化学方程式分别是__________、__________，反射炉内生成炉渣的主要成分是__________；

(2)冰铜(Cu2S和FeS互相熔合而成)含Cu量为20％～50％。转炉中，将冰铜加熔剂(石英砂)在1200℃左右吹入空气进行吹炼。冰铜中的Cu2S被氧化为Cu2O。生成的Cu2O与Cu2S反应，生成含Cu量约为98.5％的粗铜，该过程发生反应的化学方程式分别是__________、__________。

(3)粗铜的电解精炼如右图所示。在粗铜的电解过程中，粗铜板应是图中电极_____(填图中的字母)；在电极d上发生的电极反应式为____________；若粗铜中还含有Au、Ag、Fe，它们在电解槽中的存在形式和位置为______。

答案：

⑴Cu2FeS2＋O2 Cu2S＋2FeS＋SO2 2FeS＋3O2 2FeO＋2SO2 FeSiO3

⑵2Cu2S＋3O2 2Cu2O＋2SO2 2Cu2O＋Cu2S 6Cu＋SO2↑

⑶ c Cu2＋＋2e－= Cu

Au、Ag以单质的形式沉积在c(阳极)下方，Fe以Fe2+的形式进入电解液中

37．化学——选修3物质结构与性质(15分)

VIA族的氧、硫、硒(Se)、碲(Te)等元素在化合物中常表现出多种氧化态，含VIA族元素的化合物在研究和生产中有许多重要用途。请回答下列问题：

(1)S单质的常见形式为S8，其环状结构如下图所示，S原子采用的轨道杂化方式是______；

(2)原子的第一电离能是指气态电中性基态原子失去一个电子转化为气态基态正离子所需要的最低能量，O、S、Se原子的第一电离能由大到小的顺序为______；

(3)Se原子序数为______，其核外M层电子的排布式为______；

(4)H2Se的酸性比H2S__________(填“强”或“弱”)。气态SeO3分子的立体构型为______平面三角形，SO32－离子的立体构型为______三角锥形；

(5)H2SeO3的K1和K2分别为2.7×10－3和2.5×10－8，H2SeO4第一步几乎完全电离，K2为1.2×10－2，请根据结构与性质的关系解释：

①H2SeO3和H2SeO4第一步电离程度大于第二步电离的原因：__________；

第一步电离后生成的负离子较难再进一步电离出带正电荷的氢离子；

②H2SeO4比H2SeO3酸性强的原因：______；

(6)ZnS在荧光体、光导体材料、涂料、颜料等行业中应用广泛。立方ZnS晶体结构如下图所示，其晶胞边长为540.0 pm，密度为____________(列式并计算)，a位置S2－离子与b位置Zn2＋离子之间的距离为___________________pm(列式表示)。

答案：

解析：（1）因为S8为环状立体结构，所以为SP3

(6)第一问我们常碰到，后面一问要注意四个Zn2+在体内的四个小立方体的中心，不在同一平面上，过b向上面作垂线，构成直角三角形，两边分别为√2/4a 1/4a，即可求出斜边为√3/4a(a 为晶胞边长)

38．化学——选修5有机化学基础(15分)

对羟基苯甲酸丁酯(俗称尼泊金丁酯)可用作防腐剂，对酵母和霉菌有很强的抑制作用，工业上常用对羟基苯甲酸与丁醇在浓硫酸催化下进行酯化反应而制得。以下是某课题组开发的从廉价、易得的化工原料出发制备对羟基苯甲酸丁酯的合成路线：

已知以下信息：

①通常在同一个碳原子上连有两个羟基不稳定，易脱水形成羰基；

②D可与银氪溶液反应生成银镜；

③F的核磁共振氢谱表明其有两种不同化学环境的氢，且峰面积比为1：1。

回答下列问题：

(1)A的化学名称为__________；

(2)由B生成C的化学反应方程式为____________________，该反应的类型为______；

(3)D的结构简式为____________；

(4)F的分子式为__________；

(5)G的结构简式为________________；

(6)E的同分异构体中含有苯环且能发生银镜反应的共有______种，其中核磁共振氢谱有三种不同化学环境的氢，且峰面积比为2：2：1的是________________(写结构简式)。

答案：

解析：此题为基础题，比平时学生接触的有机题简单些，最后一问也在意料之中，同分异构体有两种形式，一种是一个酯基和氯原子（邻、间、对功三种），一种是有一个醛基、羟基、氯原子，3种不同的取代基有10种同分异构体，所以一共13种，考前通过练习，相信很多老师给同学们一起总结过的还有：3个取代基有2个相同的取代基的同分异构体，4个取代基两两相同的同分异构体。

有关数学高考题

您好，

这是一道有关概率和排列组合的综合问题，

有一点点小难度，不过想通了也没有什么

首先，对于第一个空：

在第一个子总体中抽取2个元素的总的方法数

为Cm/2,出现元素1的方法数为（m-1),

故P1＝（m-1)/(Cm/2)=2/m,同理第二个

子总体中P2＝2/（n-m),那么P＝P1*P2

最后对于第二空：

主要是从i和f的出处进行讨论

第一空所求的概率是i和f分别出自两个子总

体，这种情况的方法数（也就是组合）

为m(n-m),用概率和方法数相乘得4,

故此种方法的和为4

如果i和f出自一个子总体，此时的概率为

1/Cm/2,同理此时的方法数为Cm/2，

故此种方法的和为1（有两个子总体）

故总的和为6

题外话：其实这道题目我昨天就看见了，不过

昨天只是大概的看了一下，今天有意识的深入

看了一下，不过你的提问有两次，多了一个

题目的链接，从这也看出来了你

是想弄懂这道题的，希望对你有所帮助！

谢谢！

1. （05年广东卷）已知数列 满足 ， ， …．若 ，则(B)

（A） （B）3（C）4（D）5

2. （05年福建卷）3．已知等差数列 中， 的值是 （ A ）

A．15 B．30 C．31 D．64

3. （05年湖南卷）已知数列 满足 ，则 = （B ）

A．0 B． C． D．

4. （05年湖南卷）已知数列{log2(an－1)}（n∈N*）为等差数列，且a1＝3，a2＝5，则

= （C）

A．2 B． C．1 D．

5. （05年湖南卷）设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝（C）

A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx

6. （05年江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=(C )

( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189

7. (05年全国卷II) 如果数列 是等差数列，则(B )

(A) (B) (C) (D)

8. (05年全国卷II) 11如果 为各项都大于零的等差数列，公差 ，则(B)

(A) (B) (C) (D)

9. （05年山东卷） 是首项 =1，公差为 =3的等差数列，如果 =2005，则序号 等于(C )

（A）667 （B）668 （C）669 （D）670

10. （05年上海）16．用n个不同的实数a1,a2,┄an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3

一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,┄ain,记bi=- ai1+2ai2-3 ai3+┄+(-1)nnain, 1 3 2

i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3

是12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+2 12-3 12=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1

的数阵中, b1+b2+┄+b120等于 3 1 2

3 2 1

[答]( C )

(A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-720

11. （05年浙江卷） ＝( C )

(A) 2 (B) 4 (C) (D)0

12. (05年重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( C)

(A) 4；

(B) 5；

(C) 6；

(D) 7。

13、（04年浙江文理(3)） 已知等差数列 的公差为2,若 成等比数列, 则 =

(A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10

14、（04年全国卷四文理6）．等差数列 中， ，则此数列前20项和等于

A．160 B．180 C．200 D．220

15、（04年全国三文（4））等比数列 中 ，则 的前4项和为

A. 81 B. 120 C. 125 D. 192

16、（04年天津卷理8.） 已知数列 ，那么“对任意的 ，点 都在直线 上”是“ 为等差数列”的

A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

17、（04年全国卷三理⑶）设数列 是等差数列， ，Sn是数列 的前n项和，则（ ）

A.S4＜S5 B.S4＝S5 C.S6＜S5 D.S6＝S5

18．（2003天津文）5．等差数列 （ C ）

A．48 B．49 C．50 D．51

19．（2001天津）若Sn是数列{an}的前n项和，且 则 是 （ B ）

（A）等比数列，但不是等差数列 （B）等差数列，但不是等比数列

（C）等差数列，而且也是等比数列 （D）既非等比数列又非等差数列

20、（04年湖北卷理8文9）．已知数列{ }的前n项和 其中a、b是非零常数，则存在数列{ }、{ }使得（ ）

A． 为等差数列，{ }为等比数列

B． 和{ }都为等差数列

C． 为等差数列，{ }都为等比数列

D． 和{ }都为等比数列

21、（04年重庆卷理9）． 若数列 是等差数列，首项 ，则使前n项和 成立的最大自然数n是：（ ）

A 4005 B 4006 C 4007 D 4008

二、填空题

1、（05年广东卷）

设平面内有n条直线 ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三角形不过同一点．若用 表示这n条直线交点的个数，则 _____5________；当n＞4时， ＝__ ___________．

2、. （05年北京卷）已知n次多项式 ,

如果在一种算法中，计算 （k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算 的值共需要 n(n＋3) 次运算．

下面给出一种减少运算次数的算法： （k＝0， 1，2，…，n－1）．利用该算法，计算 的值共需要6次运算，计算 的

值共需要 2n 次运算．

3. （05年湖北卷）设等比数列 的公比为q，前n项和为S?n，若Sn+1,S?n，Sn+2成等差数列，则q的值为 -2 .

4. (05年全国卷II) 在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_______216 __．

5. （05年山东卷）

6. （05年上海）12、用 个不同的实数 可得到 个不同的排列，每个排列为一行写成一个 行的数阵。对第 行 ，记 ， 。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以， ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中， =_-1080_________。

7、计算： =_3 _________。

8. （05年天津卷）设 ,则

9、 （05年天津卷）在数列{an}中, a1=1, a2=2,且 ，

则 =_2600_ ___.

10. (05年重庆卷) = -3 .

11、（04年上海卷理12） 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号)①S1与S2; ②a2与S3; ③a1与an; ④q与an.其中n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和.（①、④）

12（04年江苏卷15）.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn= (对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的数值是__2

13（04年北京文理（14））定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列 是等和数列，且 ，公和为5，那么 的值为___，且（文：这个数列的前21项和 的值为_____）（理：这个数列的前n项和 的计算公式为__（ 3 ；（文：52）理：当n为偶数时， ；当n为奇数时， ）

三、解答题

1.（05年北京卷）

设数列{an}的首项a1=a≠ ，且 ,

记 ，n＝＝l，2，3，…?．

（I）求a2，a3；

（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；

（III）求 ．

解：（I）a2＝a1+ =a+ ，a3= a2= a+ ；

（II）∵ a4=a3+ = a+ , 所以a5= a4= a+ ,

所以b1=a1－ =a－ , b2=a3－ = (a－ ), b3=a5－ = (a－ ),

猜想：{bn}是公比为 的等比数列?

证明如下：

因为bn+1＝a2n+1－ = a2n－ = (a2n－1－ )= bn, (n∈N*)

所以{bn}是首项为a－ , 公比为 的等比数列?

（III） .

2.（05年北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1， ，n=1，2，3，……，求

（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；

（II） 的值.

解：（I）由a1=1， ，n=1，2，3，……，得

， ， ，

由 （n≥2），得 （n≥2），

又a2= ，所以an= (n≥2),

∴ 数列{an}的通项公式为 ；

（II）由（I）可知 是首项为 ，公比为 项数为n的等比数列，∴ =

3．（05年福建卷）

已知{ }是公比为q的等比数列，且 成等差数列.

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）设{ }是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.

解：（Ⅰ）由题设

（Ⅱ）若

当 故

若

当

故对于

4. （05年福建卷）已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+ 我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：

（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；

（Ⅱ）设数列{bn?}满足b1=－1, bn+1= ，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；

（Ⅲ）若 ，求a的取值范围.

（I）解法一：

故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}

5. （05年湖北卷）设数列 的前n项和为Sn=2n2， 为等比数列，且

（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；

（Ⅱ）设 ，求数列 的前n项和Tn.

解：（1）：当

故{an}的通项公式为 的等差数列.

设{bn}的通项公式为

故

（II）

两式相减得

6. （05年湖北卷）已知不等式 为大于2的整数， 表示不超过 的最大整数. 设数列 的各项为正，且满足

（Ⅰ）证明

（Ⅱ）猜测数列 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；

（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当 时，对任意b>0，都有

解：（Ⅰ）证法1：∵当

即

于是有

所有不等式两边相加可得

由已知不等式知，当n≥3时有，

∵

证法2：设 ，首先利用数学归纳法证不等式

（i）当n=3时， 由

知不等式成立.

（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即

则

即当n=k+1时，不等式也成立.

由（i）、（ii）知，

又由已知不等式得

（Ⅱ）有极限，且

（Ⅲ）∵

则有

故取N=1024，可使当n>N时，都有

7. （05年湖南卷）已知数列 为等差数列，且

（Ⅰ）求数列 的通项公式；

（Ⅱ）证明

（I）解：设等差数列 的公差为d.

由 即d=1.

所以 即

（II）证明因为 ，

所以

8. （05年湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.

（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；

（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不

要求证明）

（Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的

最大允许值是多少？证明你的结论.

解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为

（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得

因为x1>0，所以a>b.

猜测：当且仅当a>b，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变.

（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*

由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知

0<xn<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1.

而x1∈(0, 2)，所以

由此猜测b的最大允许值是1.

下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N*

①当n=1时，结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2),

则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk?)>0.

又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,

所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).

综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.

9. （05年江苏卷）设数列｛an｝的前项和为 ,已知a1=1, a2=6, a3=11,且 , 其中A,B为常数.

(Ⅰ)求A与B的值;

(Ⅱ)证明数列｛an｝为等差数列;

(Ⅲ)证明不等式 .

解：(Ⅰ)由 ， ， ，得 ， ， ．

把 分别代入 ，得

解得， ， ．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ，即

， ①

又 ． ②

②-①得， ，

即 ． ③

又 ． ④

④-③得， ，

∴ ，

∴ ，又 ，

因此，数列 是首项为1，公差为5的等差数列．

(Ⅲ)由(Ⅱ)知， ．考虑

．

．

∴ ．

即 ，∴ ．

因此， ．

10. （05年辽宁卷）已知函数 设数列 }满足 ，数列 }满足

（Ⅰ）用数学归纳法证明 ；

（Ⅱ）证明

解：（Ⅰ）证明：当 因为a1=1，

所以 ………………2分

下面用数学归纳法证明不等式

（1）当n=1时，b1= ，不等式成立，

（2）假设当n=k时，不等式成立，即

那么 ………………6分

所以，当n=k+1时，不等也成立。

根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。 …………8分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，

所以

…………10分

故对任意 ………………（12分）

11. (05年全国卷Ⅰ) 设正项等比数列 的首项 ，前n项和为 ，且 。

（Ⅰ）求 的通项；

（Ⅱ）求 的前n项和 。

解：（Ⅰ）由 得

即

可得

因为 ，所以 解得 ，因而

（Ⅱ）因为 是首项 、公比 的等比数列，故

则数列 的前n项和

前两式相减，得

即

12. (05年全国卷Ⅰ)

设等比数列 的公比为 ，前n项和 。

（Ⅰ）求 的取值范围；

（Ⅱ）设 ，记 的前n项和为 ，试比较 与 的大小。

解：（Ⅰ）因为 是等比数列，

当

上式等价于不等式组： ①

或 ②

解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.

综上，q的取值范围是

（Ⅱ）由 得

于是

又∵ >0且－1< <0或 >0

当 或 时 即

当 且 ≠0时， 即

当 或 =2时， 即

13. (05年全国卷II) 已知 是各项为不同的正数的等差数列， 、 、 成等差数列．又 ， ．

(Ⅰ) 证明 为等比数列；

(Ⅱ) 如果数列 前3项的和等于 ，求数列 的首项 和公差 ．

(I)证明：∵ 、 、 成等差数列

∴2 = + ，即

又设等差数列 的公差为 ，则( － ) = ( －3 )

这样 ，从而 ( － )=0

∵ ≠0

∴ = ≠0

∴

∴ 是首项为 = ，公比为 的等比数列。

(II)解。∵

∴ =3

∴ = =3

14.( 05年全国卷II)

已知 是各项为不同的正数的等差数列， 、 、 成等差数列．又 ， ．

(Ⅰ) 证明 为等比数列；

(Ⅱ) 如果无穷等比数列 各项的和 ，求数列 的首项 和公差 ．

(注：无穷数列各项的和即当 时数列前 项和的极限)

解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，由 得

即 ，得 因

当 =0时，{an}为正的常数列 就有

当 = 时， ,就有

于是数列{ }是公比为1或 的等比数列

（Ⅱ）如果无穷等比数列 的公比 =1，则当 →∞时其前 项和的极限不存在。

因而 = ≠0，这时公比 = ，

这样 的前 项和为

则S=

由 ，得公差 =3，首项 = =3

15. (05年全国卷III)

在等差数列 中，公差 的等差中项.

已知数列 成等比数列，求数列 的通项

解：由题意得： ……………1分

即 …………3分

又 …………4分

又 成等比数列,

∴该数列的公比为 ，………6分

所以 ………8分

又 ……………………………………10分

所以数列 的通项为 ……………………………12分

16. （05年山东卷）

已知数列 的首项 前 项和为 ，且

（I）证明数列 是等比数列；

（II）令 ，求函数 在点 处的导数 并比较 与 的大小.

解：由已知 可得 两式相减得

即 从而 当 时 所以 又 所以 从而

故总有 ， 又 从而 即数列 是等比数列；

（II）由（I）知

因为 所以

从而 =

= - =

由上 - =

=12 ①

当 时，①式=0所以 ；

当 时，①式=-12 所以

当 时， 又

所以 即① 从而

17．(05年上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.

假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?

[解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,

其中a1=250,d=50,则Sn=250n+ =25n2+225n,

令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.

到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.

(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,

其中b1=400,q=1.08,则bn=400?(1.08)n-1?0.85.

由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)?50>400?(1.08)n-1?0.85.

由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.

到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

18. （05年天津卷）

已知 .

（Ⅰ）当 时，求数列 的前n项和 ；

（Ⅱ）求 .

（18）解：（Ⅰ）当 时， ．这时数列 的前 项和

． ①

①式两边同乘以 ，得 ②

①式减去②式，得

若 ，

，

若 ，

（Ⅱ）由（Ⅰ），当 时， ，则 ．

当 时，

此时， ．

若 ， ．

若 ， ．

19. （05年天津卷）若公比为c的等比数列｛ ｝的首项 ＝1且满足： （ ＝3，4，…）。

（I）求c的值。

（II）求数列｛ ｝的前 项和 。

20. （05年浙江卷）已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，了＋1，c＋4成等比数列，求a，b，c．

解：由题意，得 由(1)(2)两式，解得

将 代入(3),整理得

解得 或

故 , 或

经验算，上述两组数符合题意。

21（05年浙江卷）设点 ( ，0)， 和抛物线 ：y＝x2＋an x＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－ ， 由以下方法得到：

x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点 在抛物线 ：y＝x2＋an x＋bn上，点 ( ，0)到 的距离是 到 上点的最短距离．

(Ⅰ)求x2及C1的方程．

(Ⅱ)证明{ }是等差数列．

解：（I）由题意，得 。

设点 是 上任意一点，则

令 则

由题意，得 即

又 在 上，

解得

故 方程为

(II)设点 是 上任意一点，则

令 ，则 .

由题意得g ，即

又

即 （*）

下面用数学归纳法证明

①当n=1时， 等式成立。

②假设当n=k时，等式成立，即

则当 时，由（*）知

又

即当 时，等式成立。

由①②知，等式对 成立。

是等差数列。

22. (05年重庆卷)数列{an}满足a1?1且8an?1?16an?1?2an?5?0 (n?1)。记 (n?1)。

(1) 求b1、b2、b3、b4的值；

(2) 求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。

解法一：

（I）

（II）因 ，

故猜想

因 ，（否则将 代入递推公式会导致矛盾）。

∵

故 的等比数列.

,

解法二：

（Ⅰ）由

整理得

（Ⅱ）由

所以

故

由 得

故

解法三：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）

从而

故

23. (05年重庆卷)数列{an}满足 .

（Ⅰ）用数学归纳法证明： ；

（Ⅱ）已知不等式 ，其中无理数e=2.71828….

（Ⅰ）证明：（1）当n=2时， ，不等式成立.

（2）假设当 时不等式成立，即

那么 . 这就是说，当 时不等式成立.

根据（1）、（2）可知： 成立.

（Ⅱ）证法一：

由递推公式及（Ⅰ）的结论有

两边取对数并利用已知不等式得

故

上式从1到 求和可得

即

（Ⅱ）证法二：

由数学归纳法易证 成立，故

令

取对数并利用已知不等式得

上式从2到n求和得

因

故 成立

24. （05年江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3 求数列{an}的通项公式.

解：方法一：先考虑偶数项有：

………

同理考虑奇数项有：

………

综合可得

方法二：因为

两边同乘以 ，可得：

令

所以

………

又

∴

∴

25. （05年江西卷）

已知数列

（1）证明

（2）求数列 的通项公式an.

解：（1）方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，

∴ ，命题正确.

2°假设n=k时有

则

而

又

∴ 时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：用数学归纳法证明：

1°当n=1时， ∴ ；

2°假设n=k时有 成立，

令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设

有： 即

也即当n=k+1时 成立，所以对一切

（2）下面来求数列的通项： 所以

,

又bn=－1，所以

26、（04年全国卷四文18）．已知数列{ }为等比数列， （Ⅰ）求数列{ }的通项公式；

（Ⅱ）设 是数列{ }的前 项和，证明

解：（I）设等比数列{an}的公比为q，则a2=a1q, a5=a1q4. 依题意，得方程组a1q=6, a1q4=162.解此方程组，得a1=2, q=3.故数列{an}的通项公式为an=2?3n－1

（II）

27、（04年全国三文⒆）设公差不为零的等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，且 , ，求数列{an}的通项公式.

解：设数列{an}的公差为d(d≠0),首项为a1，由已知得： .解之得： ， 或 （舍）

28（04年全国卷三理(22)）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n≥1.⑴写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；

⑵求数列{an}的通项公式；⑶证明：对任意的整数m>4，有

解：⑴当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2 a2=0；

当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3 a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；

⑵由已知得： ，化简得：

上式可化为： ，故数列{ }是以 为首项, 公比为2的等比数列.故 ∴

数列{ }的通项公式为：

⑶由已知得：

. 故 ，( m>4)

29、（04年天津卷文20. ）设 是一个公差为 的等差数列，它的前10项和 且 ， ， 成等比数列。（1）证明 ；（2）求公差 的值和数列 的通项公式

证明：因 ， ， 成等比数列，故 ，而 是等差数列，有 ，

于是 ，即 ，化简得

（2）解：由条件 和 ，得到 ，由（1）， ，代入上式得 ，故 ， ，

30（04年浙江卷文（17））、已知数列 的前n项和为 （Ⅰ）求 ；（Ⅱ）求证数列 是等比数列

解: (Ⅰ)由 ,得 ，∴ ，又 ,即 ,得 .(Ⅱ)当n>1时, 得 所以 是首项 ,公比为 的等比数列

31（04年广东卷17）. 已知 成公比为2的等比数列( 也成等比数列. 求 的值

解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α，∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列

当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，

32（04年湖南文20）． 已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1,2a7,3a4 成等差数列.（I）证明 12S3,S6,S12-S6成等比数列；（II）求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n

（Ⅰ）证明 由 成等差数列， 得 ，即 变形得 所以 （舍去）.由

得

所以12S3，S6，S12－S6成等比数列

（Ⅱ）解：

即 ①

①× 得：

所以

33、（04年江苏卷20）.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若首项 32 ，公差 ，求满足 的正整数k；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有 成立

解：（1） ；（2） 或 或

34（04年全国卷一理15）．已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项

（ 答案 ）

35（04年全国卷一理22）．已知数列 ，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….

（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式

解：（I）a2=a1+(－1)1=0,a3=a2+31=3. a4=a3+(－1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13.

(II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k, 同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,

……a3－a1=3+(－1).

所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],

由此得a2k+1－a1= (3k－1)+ [(－1)k－1],于是a2k+1=

a2k= a2k－1+(－1)k= (－1)k－1－1+(－1)k= (－1)k=1

{an}的通项公式为： 当n为奇数时，an?= 当n为偶数时，

36（04年全国卷一文17）． 等差数列{ }的前n项和记为Sn.已知

（Ⅰ）求通项 ；（Ⅱ）若Sn=242，求n

解：（Ⅰ）由 得方程组 解得

所以 （Ⅱ）由 得方程

解得

37（04年全国卷二理（19））、数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝ Sn（n＝1，2，3，…）

证明：(Ⅰ)数列{ }是等比数列；(Ⅱ)Sn＋1＝4an

证（I）由a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3，…)，知a2= S1=3a1, , ,∴

又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3，…),则Sn+1-Sn= Sn(n=1,2,3，…)，∴nSn+1=2(n+1)Sn, (n=1,2,3，…).故数列{ }是首项为1，公比为2的等比数列

证（II） 由（I）知， ，于是Sn+1=4(n+1)? =4an(n )

又a2=3S1=3,则S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an

38（04年全国卷二文（17））、已知等差数列{an}，a2＝9，a5 ＝21

(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)令bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Sn

解：a5-a2=3d,d=4,an=a2+(n-2)d=9+4(n-2)=4n+1；{bn}是首项为32公比为16的等比数列，Sn= .