高考向量考法,向量在高考中怎么考

1.空间向量高考占几分

2.如何求法向量?

3.空间向量怎样过定点求平面法向量

4.高考立体几何用向量法解题的步骤

5.高考数学问题，如何用空间向量求立体几何中的二面角的正切值

3.a=（1，2），a+2b=（-1，4），则可求b=（-1，1），丨a丨=√5，丨b丨=√2，a*b=1，因此cosΘ=a*b/丨a丨丨b丨==1/√10，选D

1.z=8i/（1+i）-i=8i（1-i）/（1+i）（1-i）-i=4i（1-i）-i=4i+4-i=4+3i，丨z丨=5，选B

空间向量高考占几分

1．与向量概念有关的问题

⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“ ＞ ”错了，而| |＞| |才有意义.

⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.

⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.

⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（ ）,其中 、 满足 ＝1（可用（cos ,sin ）（0≤ ≤2π）表示）.

⑸零向量 的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.

⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.

2．与向量运算有关的问题

⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.

①当两个向量 和 不共线时， 的方向与 、 都不相同，且| |＜| |＋| |；

②当两个向量 和 共线且同向时， 、 、 的方向都相同，且 ；

③当向量 和 反向时，若| |＞| |， 与 方向相同 ，且| |=| |-| |；

若| |＜| |时, 与 方向相同，且| ＋ |=| |-| |.

⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.

⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量.

如， ,（在△ABC中）

.(□ABCD中)

⑷判定两向量共线的注意事项

如果两个非零向量 ， ，使 =λ （λ∈R），那么 ‖ ；

反之，如 ‖ ，且 ≠0，那么 =λ .

这里在“反之”中，没有指出 是非零向量，其原因为 =0时，与λ 的方向规定为平行.

⑸数量积的8个重要性质

①两向量的夹角为0≤ ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.

②设 、 都是非零向量， 是单位向量， 是 与 的夹角，则

③ （∵ =90°，

④在实数运算中 =0 =0或b=0.而在向量运算中 = = 或 = 是错误的，故 或 是 =0的充分而不必要条件.

⑤当 与 同向时 = ( =0,cos =1);

当 与 反向时， =- ( =π,cos =-1)，即 ‖ 的另一个充要条件是 .

特殊情况有 = .

或 = = = .

如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为( , ),( , ),则 =

⑥ 。（因 ）

⑦数量积不适合乘法结合律.

如 （因为 与 共线，而 与 共线）

⑧数量积的消去律不成立.

若 、 、 是非零向量且 并不能得到 这是因为向量不能作除数，即 是无意义的.

6．与平面向量基本定理及平移有关的问题

⑴平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合.

⑵平面向量基本定理可联系物理学中力的分解模型进行理解。

⑶点的平移公式：

点 按给定平移向量 平移后得新点 的坐标公式为

反之，由新点求旧点公式变为

由新旧两点求平移向量公式为

⑷图象（图形）平移：

给定平移向量 = ，由旧解析式求新解析式，用公式

代入旧解析式中，整理得到；

由新解析式求旧解析式，用公式

代入新式，整理得到。

应用以上公式要注意公式中平移前的坐标 、平移后的坐标 、平移向量坐标 都在同一坐标系中。

确定平移向量一般可用如下两种方法：

其一，配凑法：按题目要求进行配凑，如将 化简，即可配凑为： 则公式为 此时平移向量为

其二，待定系数法：按要求代入公式，再根据题目要求求出

经典题例

例1 是不共线的两个向量,

已知

若 三点共线,求 值.

思路分析由于 三点共线,因此必存在实数 ,使 ,因而可根据已知条件和向量相等的条件得到关于 的方程,从而求 .

解:略∴ =-1.

点评

用向量共线的充要条件有时可以很容易解决几何中的三点共线问题.

例2证明三角形三条高线交于一点.

思路分析此题可利用“形”、“数”结合的方法，通过直角坐标系将几何图形数字化，则问题解决更简洁、更易接受.

证明：如图建立直角坐标系，

设

所以 是 上的高，故 的三条高交于一点 .

点评本题把两直线是否垂直的问题转化为两个非零向量的数量积是否为零的问题.

例3已知向量

满足条件 , ,

求证:△ 是正三角形.

思路分析观察条件中的两个等式,联系向量模及加法的几何意义,可构造图形巧证.如图1.又据条件易知O为定点,故可适当选取坐标系,借助向量的坐标运算,将几何问题代数化.如图2.也可联想三角知识进行坐标选取.如 使得选取具有任意性.且巧妙运用了三角变形.证明 为正三角形可从边或角的关系着手，联系两个向量数量积的有关知识可获得两种证法.

证法一：如图1略.

证法2如图2略.

证法三：据| |= ，

令

由 得

可求得| |= ，所以 为正三角形.

证法四：设

由已知得 | |= ，所以 为正三角形。

证法五：同证法四求得 ，于是 = 所以 ，由此可证 为正三角形.

点评以上五种证法，不仅实现了向量重要知识的一次大聚会，而且通过向量与三角、几何联姻，开阔了学生的眼界，培养了综合运用知识的能力.

例4如图，已知点 是△ 的重心，

⑴求 ;

⑵若 过△ 的重心 ，且 求证：

思路分析充分运用向量的几何形式运算.及向量平行的定理及推论,把相关向量用已知向量表示即可.

解：⑴

⑵显然

因为 是 的重心，

所以 =

由 、 、 三点共线,有 共线,所以,有且只有一个实数 ,

而 = - =

,

所以

= .又因为 、 不共线,所以

,消去 ,整理得3 = ,故 .

点评建立 与 的关系关键是由 三点共线得出.为此要熟练运用已知向量表示未知向量.

例5如图,直三棱柱 — ,底面 中, ,∠ °,棱 ， 分别是 , 的中点. z

⑴求 的长;

⑵求 〈 , 〉的值;

⑶求证 ⊥ .

思路分析以 为原点建立空间坐标系,写出有关点的坐标,并进行有关运算.

解:如图,以 为原点建立空间直角坐标系O- .

⑴依题意得 =(0,1,0), =(1,0,1).

∴| |=

= .

⑵依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0), B1(0,1,2).

∴ =(1,-1,2), =(0,1,2).

| |= ,| |= ,

∴ 〈 , 〉 =

⑶依题意得 (0,0,2),M(

=(-1,1,-2), =( .

= .

∴ ⊥ ，∴ ⊥C .

点评利用题中已知条件,选取恰当点建立空间坐标系,并写出相应点的坐标是这类题的关键.

例6四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一个平行四边形, , ={4,2,0}, ={-1,2,-1}.

⑴求证:PA⊥底面ABCD;

⑵求四棱锥P—ABCD的体积;

⑶对于向量 定义一种运算:

( × =

试计算( × ) 的绝对值的值;说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系,并由此猜想向量这一运算( × ) 的绝对值的几何意义.

思路分析根据所给向量的坐标,结合运算法则进行运算.

解:⑴∵ ∴AP⊥AB

又∵ AP⊥AD,∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD。

⑵设 与 的夹角为 ，则

V= | | |=

⑶|( × ) |=|-4-32-4-8|=48.

它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.

猜测:| ( × ) |在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱锥的体积）。

点评本题考察空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量夹角运算公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.

例7如图,已知椭圆 ,直线 ： P是 上一点，射线OP交椭圆与点R，又点Q在OP上，且满足|OQ||OP|= .当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

思路分析将 看作向量，则它们共线而切同向，利用向量共线的充要条件，结合平面向量的坐标表示可迅速解题.

解：设

∵ 、 同向，且|OQ||OP|=

代入L方程得 ⑴

同向

代入椭圆方程得 ⑵

由①、②得 不全为0）， 点Q的轨迹为椭圆 （去掉原点）.

点评解析几何解答题中以向量知识为主线，用向量坐标形式表示已知条件可达到解题目的.

例8从抛物线 外的一点P（a，b）向该抛物线引切线PA，PB.

① 求切点A，B的坐标. （其中A的x坐标大于B的x的坐标）.

② 求 的值.

③ 当∠APB为锐角时，求点P的纵坐标的取值范围.

解：① 从 得 =2x，因此设切点的x坐标为 ，切线方程便为

由于该切线通过P点，从而 由于引出两条切线，故 >0所以切点的坐标为A

②

④ 若∠APB为锐角,则有 >0,所以4b+1<0因此P的纵坐标的取值范围是b<-

热身冲刺

一．选择题

1.已知向量 和 反向，则下列等式成立的是（ ）.

A.| | -| |=| |

B.

C. | |

D.

2.已知向量 ，其中 则满足条件的不共线的向量共有（ ）.

A.16个 B.13个 C.12个 D.9个

3.函数 的图象按向量 平移后，所得函数的解析式是 则 等于（ ）.

A. B.

C. D.

4.已知若 和 夹角为钝角,则 的取值范围是（ ）

A. ＞ B. ≥ ＜ ≤

5.已知向量 = ， = 与 的夹角为60°，则直线 与圆 的位置关系是（ ）.

A. 相切 B.相交 C.相离 D.随α、β的值而定

6.平面上有四个互异的点A、B、C、D,已知 则 的形状是( ).

A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

7.已知 中,点D在BC边上,且 则 的值是（ ）.

A. B. C. D.0

8.已知A、B、C三点共线，且A、B、C三点的纵坐标分别为2、5、10，则A点分 所得的比是( ).

A. B. C. D.

9.下列说法正确的是( )

A. 任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.

B. 单位正交基底中的基向量模为1,且互相垂直.

C. 不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底.

D. 只要对空间一点P存在三个有序实数x,y,z,使O,A,B,C四点满足 则 就构成空间的一个基底.

10.同时垂直于 的单位向量是( )

A. B.( C.( )D.( )或( )

11.若 ,则| |的取值范围是( )

A.[0,5] B.[1,5] C.(1,5) D.[1,25]

12.已知 若 共同作用在一个物体上,使物体从点 移到点 ,则合力所做的功为( )

A. 10 B.12 C.14 D.16

二.填空题

13.若对 个向量 … 存在 个不全为零的实数 …， ，使得 …，+ 成立，则称向量 … 为“线性相关”.依此规定，能说明 “线性相关”的实数 依次可以取 .（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）

14.若直线 按向量 平移后与圆 : 相切,则实数m的值等于 .

15.已知 中, ＜0, =

则 与 的夹角为 .

16.已知 ,则以 、 为边的平行四边形的两条高的长 .

三.解答题

17.在平行四边形ABCD中,A , ,点M是线段AB的中点,线段CM与BD交于点P.

⑴若 求点C的坐标;

⑵当| |=| |时，求点P的轨迹.

18.已知 且 与 之间满足关系: 其中k＞0.

⑴用k表示

⑵求 的最小值,并求此时 与 夹角 的大小. C A

19.如图，正方形 与等腰直角 G

△ ACB互相垂直，∠ACB= ，E、F C A

分别是AB、BC的中点，G是 上的点. F E

⑴如果 试确定点 的位置； B

⑵在满足条件⑴的情况下，试求 ＜ ＞的值.

20.如图，已知三棱锥P-ABC在某个

空间直角坐标系中， P

⑴画出这个空间直角坐标系，并指 A C

出 与 轴的正方向的夹角.

⑵求证： ； B

⑶若M为BC的中点，

求直线AM与平面PBC所成角的大小.

答案

选择题答案：

1.C; 2.C; 3.B; 4.B; 5.C; 6.B; 7.D; 8.C; 9.B; 10.D; 11.B; 12.C

填空题答案:

13.只要写出-4c,2c,c中一组即可. 14.3或13.

15. . 16. ;

解答题答案:

17.⑴设点C坐标为（ ），又 即 即点 .

⑵设 则

=3

ABCD为菱形.

⊥ 即

故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径去掉与直线y=1的两个交点.

18. ⑴ 两边平方，得 ，

即

⑵ 从而 ,∴ 的最小值为 ,此时 , ,即 与 夹角为 .

19. ⑴易知

以C为坐标原点，建立空间直角坐标

系C-x，y，z，，设AC=CB=a.

=x，则A（0，a，0）， （0，0，a），

G（0，a，x），E（ ）.

G为 的中点.

〈 〉=

20. ⑴以A为坐标原点O，以AC为Oy轴，以AP所在直线为Oz轴， 与Ox轴的正向夹角为30°；

⑵由 去证；

⑶连AM、PM,可证∠AMP为AM 与平面PBC所成角，又n=

故所成角为45°.

如何求法向量?

空间向量与立体几何在高考中会以大题的形式出现，分值为12分。

向量包括平面向量和空间向量，平面向量一般单出一个小题，5分，个别时候会在圆锥曲线题目中有所涉及这时候小题大题都可能会有，但都不是重点，空间向量只有新高考和理科数学考在立体几何大题求空间角会用的到，一般7-8分。

基本信息：

在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就平面向量解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。

著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。

空间向量怎样过定点求平面法向量

法向量

法向量是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量.由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量,但是这些法向量之间相互平行.从理论上述,空间零向量是任何平面的法向量,但是由于零向量不能表示平面的信息.一般不选择零向量为平面的法向量.

如果已知直线与平面垂直,可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线,可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z),然后寻找平面内任意两个不共线的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2).由于平面法向量垂直于平面内所有的向量,因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0.由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解,因为其它方程和上述两个方程是等价的),无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的).为了得到确定法向量,可用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量),但是这步并不是必须的.因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的.

法向量的主要应用如下：

1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行；

2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补；

3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量).利用这个原理也可以求异面直线的距离

法向量方法是高考数学可以用的方法之一,他的优点在于思路简单,容易操作.只要能够建立出直角坐标系,都可以写出最后答案.缺点在于同一般立体几何方法相比,其计算量巨大,特别是在计算二面角的时候.

高考立体几何用向量法解题的步骤

(43) 平面法向量的求法及其应用

嵩明县一中 吴学伟

引言：本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结.其中重点介绍外积法求平面法向量的方法,因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面.此方法的引入,将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确,那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松.

一、 平面的法向量

1、定义：如果 ,那么向量 叫做平面 的法向量.平面 的法向量共有两大类（从方向上分）,无数条.

2、平面法向量的求法

方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中,设平面 的法向量 [或 ,或 ],在平面 内任找两个不共线的向量 .由 ,得 且 ,由此得到关于 的方程组,解此方程组即可得到 .

方法二：任何一个 的一次次方程的图形是平面；反之,任何一个平面的方程是 的一次方程. ,称为平面的一般方程.其法向量 ;若平面与3个坐标轴的交点为 ,如图所示,则平面方程为: ,称此方程为平面的截距式方程,把它化为一般式即可求出它的法向量.

方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量,其外积 为一长度等于 ,（θ为 , 两者交角,且 ）,而与 , 皆垂直的向量.通常我们取「右手定则」,也就是右手四指由 的方向转为 的方向时,大拇指所指的方向规定为 的方向, .

（注：1、二阶行列式: ；2、适合右手定则.）

例1、 已知, ,

试求（1）： （2）：

Key: (1) ;

例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 中,

求平面AEF的一个法向量 .

二、 平面法向量的应用

1、 求空间角

(1)、求线面角：如图2-1,设 是平面 的法向量,

AB是平面 的一条斜线, ,则AB与平面

所成的角为：

图2-1-1:

图2-1-2:

(2)、求面面角:设向量 , 分别是平面 、 的法向量,则二面角 的平面角为：

（图2-2）;

(图2-3)

两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角.约定,在图2-2中, 的方向对平面 而言向外, 的方向对平面 而言向内；在图2-3中, 的方向对平面 而言向内, 的方向对平面 而言向内.我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”,满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外,则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角 的平面角.

2、 求空间距离

（1）、异面直线之间距离:

方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量 、 ,

求a、b的法向量 ,即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；

②在直线a、b上各取一点A、B,作向量 ；

③求向量 在 上的射影d,则异面直线a、b间的距离为

,其中

（2）、点到平面的距离:

方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点,点A

为平面α内任一点,平面的法向量为 ,则点P到

平面α的距离公式为

（3）、直线与平面间的距离:

方法指导：如图2-6,直线 与平面 之间的距离：

,其中 . 是平面 的法向量

（4）、平面与平面间的距离:

方法指导：如图2-7,两平行平面 之间的距离：

,其中 . 是平面 、 的法向量.

3、 证明

（1）、证明线面垂直：在图2-8中, 向是平面 的法向量, 是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量共线（ ）.

（2）、证明线面平行：在图2-9中, 向是平面 的法向量, 是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量垂直（ ）.

（3）、证明面面垂直：在图2-10中, 是平面 的法向量, 是平面 的法向量,证明两平面的法向量垂直（ ）

（4）、证明面面平行：在图2-11中, 向是平面 的法向量, 是平面 的法向量,证明两平面的法向量共线（ ）.

三、高考真题新解

1、（2005全国I,18）（本大题满分12分）

已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB‖DC, 底面ABCD,且PA=AD=DC= AB=1,M是PB的中点

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小

解:以A点为原点,以分别以AD,AB,AP为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.

, ,设平面PAD的法向量为

, ,设平面PCD的法向量为

, ,即平面PAD 平面PCD.

, ,

, ,设平在AMC的法向量为 .

又 ,设平面PCD的法向量为 .

.

面AMC与面BMC所成二面角的大小为 .

2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分)

如图3-2,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,

已知AB＝AA1＝a,BC＝ a,M是AD的中点.

(Ⅰ)求证：AD‖平面A1BC；

(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；

(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离.

解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.

, ,设平面A1BC的法向量为

又 , , ,即AD//平面A1BC.

, ,设平面A1MC的法向量为: ,

又 , ,设平面A1BD1的法向量为: ,

, ,即平面A1MC 平面A1BD1.

设点A到平面A1MC的距离为d,

是平面A1MC的法向量,

又 , A点到平面A1MC的距离为: .

四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”

(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线,注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用,建立右手系),用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）、通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（回到图形问题）

高考数学问题，如何用空间向量求立体几何中的二面角的正切值

通常这种情况是在求二面角时使用，特别在二面角不容易画出来时，这时利用两个面的法向量的夹角可以求出二面角的大小，从已知面的两个向量（不共线）与法向量垂直可得到两个方程给法向量一个坐标赋值得到法向量..

答：1、如果知道这两个平面的法向量，就用这两个平面的法向量的点积除以两个法向量的模的积；得出两个法向量的余弦值。这个余弦值是两个平面角的负余弦值；如果平面角为a，这个余弦值就是cos（180D-a）=-cosa。sina=√(1-cos^2a)(是正数-算数根)；正切值：tana=sina/-cosa。

2、在不知道平面的法向量的条件，下找出两个平面的每一个平面的任意两条边（同一平面内的两条边只要是不相互垂直就可以）；做出每条边的向量，同一平面内的两条向量的叉积就是这个平面的法向量（注意如果无法判断两面角是锐角还是钝角，按照右手系使法向量指向平面角的内部方向）；然后求两个法向量的余弦值；其它同1。