高等数学在各学科中的应用_高等数学在高考中的应用

1.用高等数学解决高考题

2.高数导数的应用

以我的经历来证明有帮助：

当年我为了准备高中数学、物理竞赛，学了好多高等数学的知识，比如微积分、欧拉函数、空间解析几何等等，实际上学了这些以后，高中数学看起来就很简单了，就好像你上了高中再回头看初中一样。对于有些问题的思维方式比单纯的高中生要深入和透彻、清晰的多。而且高考明确表示，利用超越高中知识解题不算错——这是肯定的，都是数学理论为什么要判错。

不过我也同意，学好高中数学是高等数学的基础，而且学高等数学确实挺占精力的。如果你的精力足够且高中数学学得也很好，那就看看高等数学吧。但是不要当成一门主课来看，因为毕竟其中绝大部分知识高考是不涉及的。

用高等数学解决高考题

一般情况下高考试题不会用到高等数学里的东西的，因为高考有一个考试大纲，不能超出范围。有可能某些题目不出范围，而用高等数学更容易解决（然而我也没见过，因为高中的时候不会高数），用的话阅卷老师如果看明白的话是没问题的，但高中生不会大量练习高等数学，对高数比对高中知识陌生的多，一般也不会出现这种情况。如果有高手会用高数做的话，说明他的知识面广，不算错误的。

高数导数的应用

此题涉及曲线切线，要用到导数，但似乎用不到微分中值定理。

f(x)= x^2+ax+b, g(x) = (cx+d)e^x

f'(x) = 2x+a, g'(x) = (cx+c+d)e^x,

f(0) = g(0) = 2

f'(0) = g'(0) = 4

得 b = 2, d = 2, a = 4, c+d = 4, 即 c = 2

我们通过对近几年全国各省市的高考数学试卷进行纵向好横向的分析，会发现导数相关的知识内容已经成为高考数学的常考热点，其运用非常广泛。自从导数被引进高中数学教材之后，帮助大家开阔了数学视野，为我们提供了更多的解题思路。如在解决函数问题、不等式问题、解析几何等相关问题的时候，给教师的教学和学生的学习，提供了新的视角、新的方法，为命题老师拓宽了高考的命题空间。

近几年的高考数学试题，事实上已经在逐步加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大。如在函数的单调性，函数的最值，切线方程及不等式等问题上，通过运用导数相关知识定理进行解决，有利于考查学生的综合实践能力。

虽然大家都知道导数相当重要，但也暴露出很多问题：

1、导数的几何意义理解不完整，极值、极值点、取得极值时的点概念混淆，取得极值的条件不清楚；

2、公式理解不深刻，运算性质记忆不牢，导函数及其图像的性质掌握不透彻；

3、导数的最基本应用能力不足，导数的知识迁移能力差，与导数的应用相关的解题思想方法不熟悉，对导数的应用存在恐惧心理。

导数有关的高考试题分析，讲解1：

已知函数f（x）=﹣x2+4x+a（a＞0）的图象与直线x=0，x=3及y=x所围成的平面图形的面积不小于21/2，则曲线g（x）=ax﹣4ln（ax+1）在点（1，g（1））处的切线斜率的最小值为．

考点分析：

利用导数研究曲线上某点切线方程．

题干分析：

当x∈[0，3]时，y=f（x）的图象在直线y=x的上方，则围成的平面图形的面积，运用定积分运算可得9/2+3a，再由条件可得a的范围，求得g（x）的导数，可得切线的斜率，令t=a+1（t≥3），则h（t）=t+4/t﹣5，求出导数，判断单调性可得最小值．

近几年来的高考数学，导数与函数有关的问题都会与字母系数问题联系在一起，很多考生总觉得难以入手。

导数有关的高考试题分析，讲解2：

已知函数f（x）=aex/x2（a≠0）．

（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣2/x﹣lnx，若g（x）在区间（0，2）上有两个极值点，求实数a的取值范围．

考点分析：

利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

题干分析：

（Ⅰ）将a=1代入f（x），求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ）求出g（x）的导数，问题转化为即y=ex和y=x/a在（0，2）有2个交点，画出函数的图象，结合图象求出a的范围即可．

导数在高中数学中占有重要的地位，是研究函数的单调性、变化率以及最值等问题最常用和最有效的工具，也是进一步学习高等数学的基础。

因此，无论是为了高考，还是为将来的学习做好准备，探究考生在学习导数中过程中存在的问题，寻找有效的教学策略，对于促进导数的教与学具有积极的现实意义。

考生会在导数这一块产生失分主要原因有:

1、数学的阅读理解能力差；

2、概念的理解不透彻；

3、公式记忆以及运算求解能力差；

4、基础知识掌握不到位；

5、心理素质不过关；

6、缺乏基本的解题思想和方法。

导数有关的高考试题分析，讲解3：

已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．

（Ⅰ）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；

（Ⅲ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+ex＞x2+x+2．

考点分析：

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

题干分析：

（Ⅰ）代入a值，求出导函数，利用导函数的概念求出切线方程；

（Ⅱ）求出导函数，对参数a进行分类讨论，得出导函数的正负，判断原函数的单调性；

（Ⅲ）整理不等式得ex﹣lnx﹣2＞0，构造函数h（x）=ex﹣lnx﹣2，通过特殊值，知存在唯一实根x0，得出函数的最小值．

通过对试题的研究，要想学好导数，就需要积极培养阅读能力和建模能力；学会从多角度多途径加强对导数概念的阐述；探讨数学公式记忆方法，加强运算能力的培养；内容讲解注意前后衔接；培养对数学思想方法的理解，提高学习导数的兴趣；加强对数学素养的培养。