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高考抛物线大题第一问,高考抛物线大题
tamoadmin 2024-05-29 人已围观
简介本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,体现了分类讨论的数学思想。答案看其实这题也就是中档题吧，不算太难已知抛物线C：y^2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=5/4|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在
本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,体现了分类讨论的数学思想。答案看其实这题也就是中档题吧，不算太难
已知抛物线C：y^2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=5/4|PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
证明：不妨设抛物线是x^2=4py(p>0),准线是y=-p,焦点F(0,p)
设M(t,-p)是准线上任意一点,过M作抛物线的两条切线MA、MB,A、B是切点。
因A、B在抛物线上，设A(2pm,pm^2),B(2pn,pn^2) (m≠n)
由x^2=4py 得y=x^2/(4p), y'=x/(2p)
在A处切线斜率k=m，切线方程是mx-y-pm^2=0
它过M(t,-p)得 mt+p-pm^2=0
即 pm^2-tm-p=0 (1)
在B处切线斜率k=n，切线方程是nx-y-pn^2=0
它过M(t,-p)得 nt+p-pn^2=0
即 pn^2-tn-p=0 (2)
由(1)(2) 得m，n是方程z^2-tz-p=0的两个根
得 m+n=t/p，且 mn=-1 (3)
由A(2pm,pm^2)，B(2pn,pn^2) (m≠n)可得直线AB的方程是
(m+n)x-2y-2pmn=0
将(3)代入得 (t/p)x-2y+2p=0
即 tx-2p(y-p)=0
该直线恒过F(0,p)?
得证。
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号.
当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号.
可简单记忆为左同右异，即当对称轴在y轴左时，a与b同号（即a>0，b>0或a<0，b<0）；当对称轴在y轴右时，a与b异号（即a0或a>0，b<0）（ab<0）。
事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
