高考立体几何总结,高考立体几何题型及解题方法

1.高考立体几何题向量法的法向量的求法是什么

2.怎样学好高中数学立体几何?

3.高三数学立体几何题！

4.解高中立体几何有什么技巧，

5.高三数学，立体几何，详细过程

高考数学立体几何评分标准评分及评分细则：

(2017全国3,文19)(本小题满分12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.

1.证明线面垂直时,不要忽视“面内两条直线为相交直线”这一条件,如第(1)问中,学生易忽视“DO∩BO=O”,导致条件不全而减分;

2.求四面体的体积时,要注意“等体积法”的应用,即合理转化四面体的顶点和底面,目的是底面积和顶点到底面的距离容易求得;

3.注意利用第(1)问的结果:在题设条件下,如果第(1)问的结果第(2)问能用得上,可以直接用,有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决,如本题中,由(1)及题设知∠ADC=90°.

4.要注意书写过程规范,计算结果正确.书写规范是计算正确的前提,在高考这一特定的环境下,学生更要保持规范书写,力争一次成功,但部分学生因平时习惯,解答过程中书写混乱,导致失误过多.

扩展资料：

高考数学立体几何解题方法：

坐标系法：一般是两步给分，一是各关键点的的坐标，二是结果。

几何法：按你所写的关键步骤分步给分。

二者各有优缺点，坐标系法简单方便，容易入手。但是如果结果算错了，得到的步骤分很少。几何法较难，但是结果算错了只要步骤对，也能得到大部分分值。

高考立体几何题向量法的法向量的求法是什么

答:为了使复杂的问题简单化，也便于看图和理解，特作了x0y平面和交线在x轴上的平面来说明问题，至于平面位于何处，两平面交线的位置在哪里，原理都是一样的。详见下图。

从题面的问题来看，有点概念的问题需要澄清，欧几里得立体几何的问题，用不到矩阵，只有向量差积的时候才用到行列式，线性方程的问题才用到矩阵。它不同于非欧几里得几何学。这个题面的问题很大，因为，每一个问题都可以根据出题的不同情况采用不同的方法求得，都进行说明的话，可以写一本书。因此，我只用一种方法说民情况，其余的方法你可以根据原理，举一反三。

1、求二面角平面a和β所成的角：在讲这个问题之前，先要明确几个问题，二面角永远指的都是不大于90度的角；同理，直线与平面的夹角也是不大于90度的角。因此，二面角的三角函数值都是正数，没有负数。直线与平面的夹角的三角函数值也是如此。

根据上述所说的道理，二面角就等于两个平面的法向量的夹角。分别在a和β平面选择两条不相交的直线作为平面向量，a平面可以选取OA和OD，如果不知道A，D两点的坐标，你可以设单位向量OA^0={1,0,0}, OD^0={0,1,0}, 因为你所求的a平面平面法向量是垂直这个平面的方向，所求的只是方向，与数值大小无关。所以你设这两个平面向量的长度多少都可以，只与两个向量的差积方向有关与矢径长度无关。β平面选择OA，OB，B点坐标为：(Bx,By,Bz),na=OA^0xOD^0={1,0,0}x{0,1,0}={0,0,1}; 在这里要用到行列式,具体算法如下：

cos(a,^β)=nβ·na/(|nβ|*|na|)={0,Bz,By}·{}0,0,1}/(|nβ|*|na|)

=(0*0+Bz*0+By*1)/[√(0^+Bz^2+By)^2*√(0+0+1^2)]=By/√(Bz^2+By^2)。

二面角(a,^β)=arccos[By/√(Bz^2+By^2)]。

总结求二面角的过程，我们运用了行列式、差积、点积（包含了混合积）、两点间的距离（线段的求法）、法向量的求法、余弦值和角度的求法。

2、通过求直线AB与平面β的夹角，再强调一下线段的求法，线段的求法，就是把线段看作是向量，求矢径，也是求两点间的距离。A的坐标(Ax,Ay,Az)=(Ax,0,0), B-(Bx,By,Bz), 向量AB={Bx-Ax,By-Ay,Bz-Az}={Bx-Ax, By,Bz}, 矢径|AB|=√[(Bx-Ax)^2+(By-Ay)^2+(Bz-Az)^2]；既是AB线段的长度，也是A、B两点间的距离。现在设AB与平面β夹角为γ：作OC//=AB，那么，OC=AB； OC与平面β的夹角γ，就是AB与平面β的夹角γ,而AC（AB）与法平面nβ的夹角为（90D-γ）；sinγ=cos(90D-γ)=AC·nβ(|nβ|*|AC|)=[(Bx-Ax)*0+By*0+Bz*1]/{√[(Bx-Ax)^2+By^2+Bz^2]*√1}=Bz/√[(Bx-Ax)^2+By^2+Bz^2]。

3、因为所有的平面角和二面角都在区间[0,90D]的范围内。已知余弦值，可以利用三角函数公式来求其它三角函数：sinθ=√[1-(cosθ)^2], tanθ=sinθ/√[1-(cosθ)^2], cotθ=1/tanθ.

到此，题面的问题全部答完。但是，这只是基本的方法，要解决实际问题，必须多做题才能真正掌握做题的技巧，才可以把题做的简单而清晰。才能够体现出把复杂的问题简单化的数学思想，才可以领悟数学之美。

怎样学好高中数学立体几何?

设法向量为n＝(x,y,z)，然后利用这个向量与目标平面内的两条直线上的向量（方向向量）垂直，每一个垂直可以获得一个关于x,y,z的方程，这样你就获得了两个方程组成的方程组，这个方程组有无数组解。

事实上，平面的法向量是不确定的，就其方向来说，也有两大类，再加上模不确定），那么这些，你可以由上面的方程组里，目测一下，哪个量的绝对值较小，便取这个量为1（当然2等等也可以，这样就可以确定出所有的坐标了。

如：得到2x+3y-z=0,x-2y=0这样的方程组后，可以发现x是y的两倍，便设y＝1，这样x＝2，则z＝9，于是便可取法向量n＝（2，1，9），事实上，所有与这个向量共线的向量均为法向量，如（1，1/2,9/2）等。

法向量：

法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。

如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。

垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。

高三数学立体几何题！

1、要建立空间概念，强化空间思维能力！

2、牢固的平面几何基础：因为立体几何问题的解决，都是在平面上处理的，多用平面几何的知识。

3、要能把立体问题，化为平面问题，这里有经验和技巧，通过多作题，自己就会体会到的！

4、牢牢地掌握立体几何的概念、定理、法则、公式，并能再作题过程中强化它!

以上几点，供您参考!

这个是专家建议：

学好立体几何的关键有两个方面：

1、图形方面：不但要学会看图，而且要学会画图，通过看图和画培养自己的空间想象能力是非常重要的。

2、语言方面：很多同学能把问题想清楚，但是一落在纸面上，不成话。需要记的一句话：

几何语言最讲究言之有据，言之有理。也就是说没有根据的话不要说， 不符合定理的话不要说。

至于怎样证明立体几何问题可从下面两个角度去研究：

1、把几何中所有的定理分类：按定理的已知条件分类是性质定理，按定理的结论分类是判定定理。

如：平行于同一条直线的两条直线平行，既可以把它看成是两条直线平行的性质定理，也可以把它看

成是两条直线平行的判定定理。

又如如果两个平面平行且同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。它既是两个平面平行的性质定理

又是两条直线平行的判定定理。这样分类之后，就可以做到需要什么就可以找到什么，比如：我们要证明直线

和平面垂直，可以用下面的定理：

（1）直线和平面垂直的判定定理

（2）两条平行垂直于同一个平面

（3）一条直线和两个平行平面同时垂直

2、明确自己要做什么：

一定要知道自己要做什么！在证明之前就要设计好路线，明确自己的每一步的目的，学会大胆假设，仔细推理。

解高中立体几何有什么技巧，

八个半径为1的球放进去之后，正好放在正方体内，上下两层，一层四个，也就可以看做将棱长为4的正方体切三刀，切成八个棱长为2的小正方体，每个正方体内放一个半径为1的球。最后一个球的球心必定是大正方体的体心，也就是切出的八个小正方体的共同的那个顶点，最后一个球的半径就是这个顶点到半径为1的球的垂线。也就是说，小正方体的体对角线减去小球的直径再除以2就是所求小球的半径。。。。。。。。自己画画图吧，说不太好。。。。。。。

切成8个小正方体的体对角线长：d=根号下（2的平方加上2倍根号2的平方）=2倍根号3

故所求小球半径：r=（d-1X2）/2=根号3减1

高三数学，立体几何，详细过程

第一要建立空间观念，提高空间想象力。

从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃，要有一个过程。有的同学自制一些空间几何模型并反复观察，这有益于建立空间观念，是个好办法。有的同学有空就对一些立体图形进行观察、揣摩，并且判断其中的线线、线面、面面位置关系，探索各种角、各种垂线作法，这对于建立空间观念也是好方法。此外，多用图表示概念和定理，多在头脑中“证明”定理和构造定理的“图”，对于建立空间观念也是很有帮助的。

第二要掌握基础知识和基本技能。

要用图形、文字、符号三种形式表达概念、定理、公式，要及时不断地复习前面学过的内容。这是因为《立体几何》内容前后联系紧密，前面内容是后面内容的根据，后面内容既巩固了前面的内容，又发展和推广了前面内容。在解题中，要书写规范，如用平行四边形ABCD表示平面时，可以写成平面AC，但不可以把平面两字省略掉；要写出解题根据，不论对于计算题还是证明题都应该如此，不能想当然或全凭直观；对于文字证明题，要写已知和求证，要画图；用定理时，必须把题目满足定理的条件逐一交待清楚，自己心中有数而不把它写出来是不行的。要学会用图（画图、分解图、变换图）帮助解决问题；要掌握求各种角、距离的基本方法和推理证明的基本方法——分析法、综合法、反证法。

第三要不断提高各方面能力。

通过联系实际、观察模型或类比平面几何的结论来提出命题；对于提出的命题，不要轻易肯定或否定它，要多用几个特例进行检验，最好做到否定举出反面例子，肯定给出证明。欧拉公式的内容是以研究性课题的形式给出的，要从中体验创造数学知识。要不断地将所学的内容结构化、系统化。所谓结构化，是指从整体到局部、从高层到低层来认识、组织所学知识，并领会其中隐含的思想、方法。所谓系统化，是指将同类问题如平行的问题、垂直的问题、角的问题、距离的问题、惟一性的问题集中起来，比较它们的异同，形成对它们的整体认识。牢固地把握一些能统摄全局、组织整体的概念，用这些概念统摄早先偶尔接触过的或是未察觉出明显关系的已知知识间的联系，提高整体观念。

要注意积累解决问题的策略。如将立体几何问题转化为平面问题，又如将求点到平面距离的问题，或转化为求直线到平面距离的问题，再继而转化为求点到平面距离的问题；或转化为体积的问题。要不断提高分析问题、解决问题的水平：一方面从已知到未知，另方面从未知到已知，寻求正反两个方面的知识衔接点——一个固有的或确定的数学关系。要不断提高反省认知水平，积极反思自己的学习活动，从经验上升到自动化，从感性上升到理性，加深对理论的认识水平，提高解决问题的能力和创造性。

END

注意事项

一、立足课本，夯实基础

直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。例如：三垂线定理。定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。但定理的证明在出学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。掌握好定理有以下三点好处：

（1）深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。

（2）培养空间想象力。

（3）得出一些解题方面的启示。

在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。对后面的学习也打下了很好的基础。

二、培养空间想象力

为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时，动手制作一些简单的模型用以帮助想象。例如：正方体或长方体。在正方体中寻找线与线、线与面、面与面之间的关系。通过模型中的点、线、面之间的位置关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。其次，要培养自己的画图能力。可以从简单的图形（如：直线和平面）、简单的几何体（如：正方体）开始画起。最后要做的就是树立起立体观念，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面（如：纸、黑板）上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。空间想象力并不是漫无边际的胡思乱想，而是以提设为根据，以几何体为依托，这样就会给空间想象力插上翱翔的翅膀。

三、逐渐提高逻辑论证能力

立体几何的证明是数学学科中任一分之也替代不了的。因此，历年高考中都有立体几何论证的考察。论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法（“推出法”）形式写出。

四、“转化”思想的应用

我个人觉得，解立体几何的问题，主要是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。例如：

1.两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

2.异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。

3.面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。

4.三垂线定理可以把平面内的两条直线垂直转化为空间的两条直线垂直，而三垂线逆定理可以把空间的两条直线垂直转化为平面内的两条直线垂直。

以上这些都是数学思想中转化思想的应用，通过转化可以使问题得以大大简化。

五、总结规律，规范训练

立体几何解题过程中，常有明显的规律性。例如：求角先定平面角、三角形去解决，正余弦定理、三角定义常用，若是余弦值为负值，异面、线面取锐角。对距离可归纳为：距离多是垂线段，放到三角形中去计算，经常用正余弦定理、勾股定理，若是垂线难做出，用等积等高来转换。不断总结，才能不断高。

还要注重规范训练，高考中反映的这方面的问题十分严重，不少考生对作、证、求三个环节交待不清，表达不够规范、严谨，因果关系不充分，图形中各元素关系理解错误，符号语言不会运用等。这就要求我们在平时养成良好的答题习惯，具体来讲就是按课本上例题的答题格式、步骤、推理过程等一步步把题目演算出来。答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要，在立体几何中尤为重要，因为它更注重逻辑推理。对于即将参加高考的同学来说，考试的每一分都是重要的，在“按步给分”的原则下，从平时的每一道题开始培养这种规范性的好处是很明显的，而且很多情况下，本来很难答出来的题，一步步写下来，思维也逐渐打开了。

六、典型结论的应用

在平时的学习过程中，对于证明过的一些典型命题，可以把其作为结论记下来。利用这些结论可以很快地求出一些运算起来很繁琐的题目，尤其是在求解选择或填空题时更为方便。对于一些解答题虽然不能直接应用这些结论，但其也会帮助我们打开解题思路，进而求解出答案。

第一个图===================

第一题,

(1)因为PA垂直底面,AC就是PC的垂直投影

又因DC垂直AC,即DC垂直于PC的投影,则DC垂直PC

同时根据线垂直平面的两个线,则DC垂直平面PAC

所以垂直于任何一个PAC上的任何直线,故DC垂直于AE

(2)因为∠ABC=60°,AB=BC 所以△ABC是等边,

所以AC=AB=PA,所以△PAC等腰直角三角形(直角也容易证明,但这里不需要直角条件)

所以AE垂直PC

显然因为DC垂直PC的投影AC,所以DC垂直PC,扩展为DC垂直于三角形PAC

所以DC垂直三角形PAC上所有直线,包含AE

又因AE垂直PC,所以AE垂直DC和PC形成的平面即PCD

所以AE垂直PCD上任何直线

做DC中点设为F,连接EF,有AE垂直EF

由于E和F都是中点,所以EF//PD

所以AE垂直PD

又因PD垂直AB(也是根据面线三垂,PA,AB,AD三者推导出来,过程不证)

所以PD垂直于AE和AB形成的平面ABE 得证

第二题实际上是第一题第二小题的答案

只不过是求二面角的角度余弦值

在BE取Q,使得AQ垂直BE CQ垂直BE

这∠AQC就是此二面角

为了简化线段长度描述与一定比例,令AB=BC=AC=PA=1

首先由A是P的投影,可证明PB=PC =√2 则AE=CE=√2/2

∠PCB的余弦值=1/(2√2) 就是BC的一半/PC

∠PCB的正弦值=√(7/8)

做EH垂直BC于H

则EH=EC*√(7/8) =√7 /4 CH=EC*1/(2√2) =1/4

所以BH=3/4 BE=(BH^2+EH^2)^(1/2)=1

确定三角形ABE线段长度关系 AB=BE=1 AE=√2/2后

就容易用等面积法求BE上的高AQ或Q的位置

不难得到EQ=1/4 AQ=√7 /4

再根根据三角形AQC线段关系,利用等面积法,最后得到∠AQC的余弦值=1/7

第二个图======================

第一题,最简单的方式就是做整个直三棱柱的原点对称镜像,对称原点是A1C的中点称为O

明显现有相互重合的对称点有A对C1,A1对C

额外作出的有 对称B的对称点为B' B1的对称点B1' D的对称点D'

则连接AB' 连接DD'一定有AB'//BC1//DD'

且DD'必过对称点O,DO是三角形A1DC上的线段

平行于线,必平行于线所在面,所以BC1//A1CD

第二题

根据底面的三个边长度,可以求得面积,不难,何况明显看出是等腰直角三角形面积=2*2/2=2

则体积是底面积乘以高=2*2=4

第三题

各个小题都很奇怪没有像第二题一样的假设长度无法计算啊