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高考数学三角函数试题_高考数学试卷三角函数

tamoadmin 2024-05-28 人已围观

简介1.数学高三三角函数问题2.一道有关三角函数的数学高考题3.高三数学三角函数 求大神帮忙看看接下来怎么做 a=30A=60 求b+c的取值范围4.帮忙讲解一些三角函数问题因为sin?x+cos?x=1,f(x)=(2sinxcosx+sin?x+cos?x)+3/2/(sinx+cosx)=(sinx+cosx)?+3/2/(sinx+cosx),令t=sinx+cosx=根号2sin(x+45)

1.数学高三三角函数问题

2.一道有关三角函数的数学高考题

3.高三数学三角函数 求大神帮忙看看接下来怎么做 a=30A=60° 求b+c的取值范围

4.帮忙讲解一些三角函数问题

高考数学三角函数试题_高考数学试卷三角函数

因为sin?x+cos?x=1,f(x)=(2sinxcosx+sin?x+cos?x)+3/2/(sinx+cosx)=(sinx+cosx)?+3/2/(sinx+cosx),令t=sinx+cosx=根号2sin(x+45°),那么1≤t≤根号2,f(x)=(t?+3/2)/t=t+3/2t≥根号6

当且仅当t=3/2t时等号成立,即t=根号6/2,所以最小值是根号6

要注意x的范围是0°,90°,那么x+45°的范围就是45°,135°,则sin(x+45°)的范围是根号2/2,1,所以1≤t≤根号2。

用到了基本不等式,原理是如果a,b都是正数,那么a+b≥2根号ab,当且仅当a=b时取等。比如应用很广的a?+b?≥2ab

所以t+3/2t≥2根号t*3/2t,化简得t+3/2t≥根号6

数学高三三角函数问题

解析

结论:选项C正确.

可以和这个题对比一下: 1987年全国卷题16

已知 , 求 的值.

解法一

解法二

设 为第四象限的角,若 ,则

又∵

∵ 为第四象限角,

∴ ,

∴ ,

∴ ,

,

提炼与提高

和差化积公式共有以下4个:

在前面3个题的解答过程中,都用到了和差化积公式。

初等数学是很成熟的内容,但不同的老师在教法方面也会有不同的主张。

以三角函数来说,有些老师会建议学生多记一些公式,比如三倍角公式。在我看来,三倍角公式的重要性远远不如和差化积公式,用到的机会也比较少。这类用得不多的公式,很容易记错记混。如果在考试中用了错误的公式而丢分,就亏大了。

归根结底,学数学就是学推导;靠「死记硬背」是学不好数学的。

事实上,用和差化积公式可以很轻松地推导出三倍角公式。

一道有关三角函数的数学高考题

有cos2B+cosB=0可知,用二倍角公式展开为

2cosB^2+cosB-1=0,解方程可知cosB=1/2或者是cosB=-1

因为B为三角形内角,不能为180°,所以cosB不能为-1

所以cosB=1/2即B=60°

由三角形边和角的关系b^2=a^2+c^2-2ac*cosB可知

7=a^2+c^2-2ac*cosB ①

再有a+c=5可知

a^2+c^2+2ac=25 ②

再加上cosB=1/2 ③

联立①②③可算出

ac=6

三角形面积S

S=ac*sinB/2=6×sinB/2=3sinB

因为B=60°,所以sinB=根号3/2,即S=3/2 根号3

高三数学三角函数 求大神帮忙看看接下来怎么做 a=30A=60° 求b+c的取值范围

f(x)=sinωxcosψ+cosωxsinψ+cosωxcosψ-sinωxsinψ

f(-x)=sinψcosωx-cosψsinωx-cosψcosωx+sinψsinωx

则:sinωxcosψ+cosωxsinψ+cosωxcosψ-sinωxsinψ=sinψcosωx-cosψsinωx-cosψcosωx-sinψsinωx

经过化简:2sinωxcosψ+2cosωxcosψ=2sin(ωx+ψ)

化简成这样,你能明白了么?

好久不学数学了,不知道化简得对不对,你看看然后自己想想吧~~~~

帮忙讲解一些三角函数问题

馀弦定理

a?=b?+c?-2bccosA

b?+c?=9+bc≥2bc

bc≤9,当且仅当b=c=3时取等号

又∵(b+c)?=b?+2bc+c?=9+3bc?≤9+3*9=36

b+c≤6

∴3<b+c≤6,当b=c=3时取等号

.函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ,值域是.

2.函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] .

3.函数y=arctgx的定义域是 R ,值域是.

4.函数y=arcctgx的定义域是 R ,值域是 (0, π) .

5.arcsin(-)=; arccos(-)=; arctg(-1)=; arcctg(-)=.

6.sin(arccos)=; ctg[arcsin(-)]=; tg(arctg)=; cos(arcctg)=.

7.若cosx=-, x∈(, π),则x=.

8.若sinx=-, x∈(-, 0),则x=.

9.若3ctgx+1=0, x∈(0, π),则x=.

二.基本要求:

1.正确理解反三角函数的定义,把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系;

2.掌握反三角函数的定义域和值域,y=arcsinx, x∈[-1, 1], y∈[-,], y=arccosx, x∈[-1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中,定义域和值域的作用更为明显,在研究问题时,一定要先看清楚变量的取值范围;

3.符号arcsinx可以理解为[-,]上的一个角或弧,也可以理解为区间[-,]上的一个实数;同样符号arccosx可以理解为[0,π]上的一个角或弧,也可以理解为区间[0,π]上的一个实数;

4.y=arcsinx等价于siny=x, y∈[-,], y=arccosx等价于cosy=x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据;

5.注意恒等式sin(arcsinx)=x, x∈[-1, 1] , cos(arccosx)=x, x∈[-1, 1], arcsin(sinx)=x, x∈[-,], arccos(cosx)=x, x∈[0, π]的运用的条件;

6.掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断,大多数情况下,可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用;

7.注意恒等式arcsinx+arccosx=, arctgx+arcctgx=的应用。

例一.下列各式中成立的是(C)。

(A)arcctg(-1)=- (B)arccos(-)=-

(C)sin[arcsin(-)]=- (D)arctg(tgπ)=π

解:(A)(B)中都是值域出现了问题,即arcctg(-1)∈(0, π), arccos(-)∈[0, π],

(D)中,arctg(tgπ)∈[-, ], 而π[-,], ∴ (A)(B)(D)都不正确。

例二.下列函数中,存在反函数的是(D)。

(A)y=sinx, x∈[-π, 0] (B)y=sinx, x∈[, ]

(C)y=sinx, x∈[,] (D)y=sinx, x∈[,]

解:本题是判断函数y=sinx在哪个区间上是单调函数,由于y=sinx在区间[,]上是单调递减函数, 所以选D。

例三. arcsin(sin10)等于(C)。

(A)2π-10 (B)10-2π (C)3π-10 (D)10-3π

解:本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等,且该角度在[-, ]上。

由于sin(3π-10)=sin(π-10)=sin10, 且3π-10∈[-, ], 所以选C。

例四.求出下列函数的反函数,并求其定义域和值域。

(1)f (x)=2sin2x, x∈[, ];(2)f (x)=+arccos2x.

解:(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x-π∈[-, ], -2≤y≤2

由y=2sin2x, 得sin2x=, sin(2x-π)=-sin2x=-, ∴ 2x-π=arcsin(-),

∴ x=-arcsin, ∴ f -1(x)=-arcsin, -2≤x≤2, y∈[, ].

(2) f (x)=+arccos2x, x∈[-, ], y∈[,],

∴ arccos2x=y-, 2x=cos(y-), x=cos(y-)=siny,

∴f -1(x)=sinx , x∈[,], y∈[-, ].

例五.求下列函数的定义域和值域:

(1) y=arccos; (2) y=arcsin(-x2+x); (3) y=arcctg(2x-1),

解:(1) y=arccos, 0<≤1, ∴ x≥1, y∈[0, ).

(2) y=arcsin(-x2+x), -1≤-x2+x≤1, ∴ ≤x≤,

由于-x2+1=-(x-)2+, ∴ -1≤-x2+x≤, ∴ -≤y≤arcsin.

(3) y=arcctg(2x-1), 由于2x-1>-1, ∴ 0< arcctg(2x-1)<, ∴ x∈R, y∈(0, ).

例六.求下列函数的值域:

(1) y=arccos(sinx), x∈(-, ); (2) y=arcsinx+arctgx.

解:(1) ∵x∈(-, ), ∴ sinx∈(-, 1], ∴ y∈[0, ).

(2) ∵y=arcsinx+arctgx., x∈[-1, 1], 且arcsinx与arctgx都是增函数,

∴ -≤arcsinx≤, -≤arctgx≤, ∴ y∈[-,].

例七.判断下列函数的奇偶性:

(1) f (x)=xarcsin(sinx); (2) f (x)=-arcctgx.

解:(1) f (x)的定义域是R, f (-x)=(-x)arcsin[sin(-x)]=xarcsin(sinx)=f (x),

∴ f (x)是偶函数;

(2) f (x)的定义域是R,

f (-x)=-arcctg(-x)=-(π-arcctgx)=arcctgx-=-f (-x),

∴ f (x)是奇函数.

例八.作函数y=arcsin(sinx), x∈[-π, π]的图象.

解:y=arcsin(sinx), x∈[-π, π], 得, 图象略。

例九.比较arcsin, arctg, arccos(-)的大小。

解:arcsin<, arctg<, arccos(-)>, ∴arccos(-)最大,

设arcsin=α,sinα=, 设arctg=β, tgβ=, ∴ sinβ=<sinα, ∴ β<α,

∴ arctg< arcsin< arccos(-).

例十.解不等式:(1) arcsinx<arccosx; (2) 3arcsinx-arccosx>.

解:(1) x∈[-1, 1], 当x=时, arcsinx=arccosx, 又arcsinx是增函数,arccosx是减函数,

∴ 当x∈[-1, )时, arcsinx<arccosx.

(2) ∵ arccosx=-arcsinx, ∴ 原式化简得4arcsinx>, ∴ arcsinx>=arcsin,

∵ arcsinx是增函数, ∴ <x≤1.

三.基本技能训练题:

1.下列关系式总成立的是(B)。

(A)π-arccosx>0 (B)π-arcctgx>0 (C)arcsinx-≥0 (D)arctgx->0

2.定义在(-∞, ∞)上的减函数是(D)。

(A)y=arcsinx (B)y=arccosx (C)y=arctgx (D)y=arcctgx

3.不等式arcsinx>-的解集是. 4.不等式arccosx>的解集是.

四.试题精选:

(一) 选择题:

1.cos(arccos)的值是(D)。

(A) (B) (C)cos (D)不存在

2.已知arcsinx>1,那么x的范围是(C)。

(A)sin1<x< (B)sinx<x≤ (C)sin1<x≤1 (D)

3.已知y=arcsinx·arctg|x| (-1≤x≤1), 那么这个函数(A)。

(A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数

4.若a=arcsin(-), b=arcctg(-), c=arccos(-),则a, b, c的大小关系是(B)。

(A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<a<b (D)c<b<a

5.已知tgx=-, x∈(, π),则x=(C)。

(A)+arctg(-)(B)π-arctg(-)(C)π+arctg(-)(D)

6.函数f (x)=2arccos(x-2)的反函数是(D)。

(A)y=(cosx-2) (0≤x≤π) (B)y= cos(x-2) (0≤x≤2π)

(C)y= cos(+2) (0≤x≤π) (D)y= cos+2 (0≤x≤2π)

7.若arccosx≥1,则x的取值范围是(D)。

(A)[-1, 1] (B)[-1, 0] (C)[0, 1] (D)[-1, arccos1]

8.函数y=arccos(sinx) (-<x<)的值域是(B)。

(A)(, ) (B)[0, ] (C)(, ) (D)[,]

9.已知x∈[-1, 0],则下列等式成立的是(B)。

(A)arcsin=arccosx (B)arcsin=π-arccosx

(C)arccos=arcsinx (D)arccos=π-arcsinx

10.直线2x+y+3=0的倾斜角等于(C)。

(A)arctg2 (B)arctg(-2) (C)π-arctg2 (D)π-arctg(-2)

(二) 填空题:

11.若cosα=- (<α<π),则α=. (用反余弦表示)

12.函数y=(arcsinx)2+2arcsinx-1的最小值是 -2 .

13.函数y=2sin2x (x∈[-, ])的反函数是.

14.函数y=arcsin的定义域是 x≤1或x≥3 ,值域是

15.用反正切表示直线ax-y+a=0 (a≠0)的倾斜角为α=

(三) 解答题:

16.求下列函数的反函数:

(1) y=3cos2x, x∈[-, 0]; (2) y=π+arccosx2 (0<x≤1).

解:(1) x∈[-, 0], ∴ 2x∈[-π, 0], 函数y=3cos2x在定义域内是单值函数.

且-3≤y≤3. ∴ π+2x∈[0, π], y=3cos2x=-3cos(π+2x), cos(π+2x)=-,

∴ π+2x=arccos, ∴x=arccos-,

∴y=3cos2x, x∈[-, 0]的反函数是y=arccos-, -3≤x≤3.

(2) ∵0<x≤1, π≤y<, ∴ arccosx2=y-π, x2=cos(y-π), x=,

∴ 原函数的反函数是y=, π≤x<.

17.求函数y=(arccosx)2-3arccosx的最值及相应的x的值。

解:函数y=(arccosx)2-3arccosx, x∈[-1, 1], arccosx∈[0, π]

设arccosx=t, 0≤t≤π, ∴ y=t2-3t=(t-)2-,

∴ 当t=时,即x=cos时, 函数取得最小值-,

当t=π时,即x=-1时,函数取得最大值π2-3π.

18.若f (arccosx)=x2+4x, 求f (x)的最值及相应的x的值。

解:设arccosx=t, t∈[0, π], x=cost, 代入得f (t)=cos2t+4cost,

∴ f (x)=cos2x+4cosx, x∈[0, π], cosx∈[-1, 1], f (x)=(cosx+2)2-4,

∴ 当cosx=-1时,即x=π时,函数取得最小值-3.

当cosx=1时,即x=0时,函数取得最大值5.

19.(1)求函数y=arccos(x2-2x)的单调递减区间; (2)求函数arctg(x2-2x)的单调递增区间。

解:(1) 函数y=arccosu, u∈[-1, 1]是减函数,

∴ -1≤x2-2x≤1,1-≤x≤1+, 又x2-2x=(x-1)2+1,

∴ 1≤x≤1+时, u=x2-2x为增函数,根据复合函数的概念知此时原函数为减函数。

(2) 函数y=arctgu增函数, u∈R, 又x2-2x=(x-1)2+1,

∴ 当x≥1时,原函数是增函数。

20.在曲线y=5sin(arccos)上求一个点,使它到直线x+y-10=0的距离最远,并求出这个最远距离

解:设arccos=α, -3≤x≤3, cosα=,

y=5sinα=5,

三角函数的性质和图象

[重点]:复合三角函数的性质和图象

[难点]:复合三角函数的图象变换

[例题讲解]

例1.求函数的定义域:f(x)=

解:

(1): 2kπ≤x≤(2k+1)π (k∈Z)

(2): -4<x<4

定义域为 。

注意:sinx中的自变量x的单位是“弧度”,x∈R。

例2.求y=cos( -2x)的递增区间。

分析(1):该函数是y=cosu,u= -2x的复合函数,

∵ u= -2x为减函数,要求y=cos( -2x)的递增区间,只须求y=cosu的递减区间。

方法(1):∵ y=cosu的递减区间为2kπ≤u≤π+2kπ (k∈Z)

∴ 令2kπ≤ -2x≤π+2kπ,- -kπ≤x≤ -kπ (k∈Z)

∵ -k与k等效,∴ 递增区间为[- +kπ, +kπ] (k∈Z)。

分析(2):∵ cosu为偶函数,∴ y=cos(2x- )

设y=cost,t=2x- ,

∵ t=2x- 为增函数,要求y=cos(2x- )的递增区间,只须求y=cost的递增区间。

方法(2):∵ y=cost的递增区间为π+2kπ≤t≤2π+2kπ (k∈Z)

∴ 令π+2kπ≤2x- ≤2π+2kπ, +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z)

∴ 递增区间为 +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z)。

注意:两种方法求得的结果表面上看不相同,但是从图上看两种形式所表示的范围完全相同。

例3.求函数y=sin2x+sinx·sin(x+ )的周期和值域。

分析:求函数的周期、值域、单调区间等,对于三角函数式常用的方法是转化为一个角的一个三角函数式。

解:y=

=

=

=

∴ T= =π,值域为[ ]。

例4.求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值。

分析:sinx+cosx与sinxcosx有相互转化的关系,若将sinx+cosx看成为整体,设为新的元,函数式可转化为新元的函数式,注意新元的取值范围。

解:设sinx+cosx=t,t∈[- , ]。

则(sinx+cosx)2=t2,即1+2sinxcosx=t2,sinxcosx= ,

y=t+ = (t2+2t)- = (t+1)2-1,

当t= 时,ymax= + 。

例5.判断下列函数的奇偶性

(1)y=sin(x+ )- cos(x+ )

(2)y=

分析:定义域为R,关于原点对称,经过等值变形尽量转化为一个角的一个三角函数式,再判断其奇偶性。

解:(1)y=2[ sin(x+ )- cos(x+ )]

=2sin[(x+ )- ]

=2sinx

∴ 函数为奇函数。

(2)∵ 从分母可以得出定义域x≠π+2kπ且 (k∈Z),在直角坐标系中定义域关于原点不对称。

∴ 函数为非奇非偶函数。

例6.写出下列函数图象的解析式

(1)将函数y=sinx的图象上所有点向左平移 个单位,再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍,得到所求函数的图象。

(2)将函数y=cosx的图象上所有点横坐标缩为原来的一半,纵坐标保持不变,然后把图象向左平移 个单位,得到所求函数的图象。

(1)分析:按图象变换的顺序,自变量x的改变量依次是:+ ; 倍。

图象的解析式依次为:y=sinx→y=sin(x+ )→y=sin( )。

解:所求函数图象的解析式为y=sin( ),也可以写为:y=sin (x+ ).

(2)分析:按图象变换的顺序,自变量x的改变量依次是:2倍;+ 。

图象的解析式依次为:y=cosx→y=cos2x→y=cos2(x+ )。

解:所求函数图象的解析式为y=cos2(x+ ),也可以写为:y=cos(2x+ )。

例7.已知函数y=sin(3x+ )

(1)判断函数的奇偶性;

(2)判断函数的对称性。

分析:函数的奇偶性与函数的对称性既有联系又有区别,用定义法,换元法。

解:(1)定义域为R,设f(x)=sin(3x+ )

f(-x)=sin[3(-x)+ ]=-sin(3x- )

∵ sin[3(-x)+ ]≠sin(3x+ )

sin[3(-x)+ ]≠-sin(3x+ )

∴ 函数y=sin(3x+ )不是奇函数也不是偶函数。

(2)函数y=sin(3x+ )的图象是轴对称图形,对称轴方程是3x+ =kπ+ 。

即x= (k∈Z)

函数y=sin(3x+ )的图象也是中心对称图形,∵ y=sinu图象的对称中心的坐标是(kπ,0)。

令3x+ =kπ,x= (k∈Z)。

∴ y=sin(3x+ )图象的对称中心的坐标是( ,0) (k∈Z)。

测试

选择题

1.y= 的定义域是(以下k∈Z)( )

(A)[2k ] (B)[2k ]

(C)[2k ] (D)(-∞,+∞)

2.f(x)= cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则θ=( )(以下k∈Z)

(A)kπ (B)kπ+ (C)kπ- (D)kπ+

3.在[ ]上与函数y=cos(x-π)的图象相同的函数是( )

(A)y= (B)y= (C)y=cos(x- ) (D)y=cos(-x-4π)

4.把函数y=sin(2x- )的图象向右平移 个单位,所得图像对应的函数是( )

(A)非奇非偶函数 (B)既是奇函数,又是偶函数

(C)奇函数 (D)偶函数

5.将函数y=sin( )的图象作如下的变换便得到函数y=sin x的图象( )

(A)向右平移 (B)向左平移 (C)向右平移 (D)向左平移

6.函数f(x)=sin(ωx+θ)·cos(ωx+θ) (ω>0)以2为最小正周期,且能在x=2时取得最大值,则θ的一个值是( )

(A)- π (B)- π (C) π (D)

7.ω是正实数,函数 在 上递增,那么( )

(A) (B) (C) (D)

8.y=cos( +2x)sin( -2x)的单调递增区间是(以下k∈Z)( )

(A)[ ] (B)[ ]

(C)[ ] (D)[ ]

9.函数y=3sin(x+ 的最大值为( )

(A)4 (B) (C)7 (D)8

10.当x∈( )时,f(x)=|sin(3kx+ )|有一个完整的周期,则k能取的最小正整数值是( )

(A)12 (B)13 (C)25 (D)26

答案与解析

答案:1、D 2、C 3、A 4、D 5、C 6、A 7、A 8、A 9、D 10、B

解析:

1.对于x∈R,-1≤sinx≤1,cos(sinx)>0恒成立,所以x∈R。

2.整理得到f(x)=2sin(+θ-3x),则根据f(0)=0代入选项验证即可。

注:奇函数的一个性质:如果奇函数f(x)的定义域中有0,则f(0)=0(反之不一定成立)。

3.首先整理,y=cos(x-π)=-cosx,

y= =|cosx|=-cosx (∵x∈[],cosx<0)

y= (x= 时无意义,显然不是答案)

y=cos(x- π)=-sinx,

y=cos(-x-4π)=cosx。

4.y=sin(2x- ) y=sin(2(x- )- )=-cos2x。

注:对于函数图象平移,掌握左加右减(向左平移时x加一个数,向右平移时x减一个数)的法则,还需注意,只是改变(x)。

5.y=sin x=sin[ (x- )+ ], y=sin( x+ )→y=sin[ (x- )+ ]

即x变成x- ,所以是向右平移 个单位。

6.整理得f(x)= sin(2ωx+2θ),由T= =2,ω= ,且x=2时,f(x)取最大值,代入选项验证即可。

7.令ωx=t,因为f(x)=2sint在[- , ]上是增函数,

所以- ≤t≤ ,即- ≤ωx≤ ,- ≤x≤ ,

根据已知f(x)在[- , ]上递增,所以 ,解出0<ω≤ 。

8.化简出y= - sin4x=- sin4x+ ,原题即求sin4x的递减区间,

2kπ+ ≤4x≤2kπ+ π ≤x≤ π。

9.注意到 ,化简原式y=8cos(x- )。

10.函数f(x)的周期T= ,根据题意T ,即 ,解出k≥4π。

注:函数f(x)=|sinωx|的周期是T= 。

含参数的三角函数问题

有关含参数的问题,因为能很好的考察分类讨论的数学思想和比较深刻地考察数学能力,在前几年的高考中一度成为热门。但是因为难度较大,近两年有所降温。含参数问题较多的出现在不等式和函数的有关问题中,在三角函数中也时有涉及。但因为三角函数在高考中多以低档题和中档题出现,本部分内容较难。

所谓的含参数,就是与变量有关。因此处理这类问题要有变量的思想,就是要把参数看作是一个运动的、一个变化的量。这个参数变化为不同的值时,可能对解题过程产生不同的影响,这就需要分类讨论。下面几个例题都是参变量与三角函数的图象与性质相结合的问题。

例1.若对于一切实数x,cos2x=acos2x+bcosx+c恒成立,那么a2+b2+c2=_______。

分析:当变量x变化时,cosx的值也在变化,但这个变化不能影响整个式子的值。

解:原式整理成:(a-2)cos2x+bcosx+c+1=0,即不论x取何值,这个式子恒成立,

则必须a-2=0,b=0,c+1=0同时成立,解出a=2,b=0,c=-1,所以a2+b2+c2=5。

注:要使acosx不受x值变化的影响,只能a=0。

例2.已知α,β∈[- , ],sinα=1-a, sinβ=1-a2, 又α+β<0, 求a的取值范围。

分析:要求变量a的取值范围,则必须根据已知条件找到一个含有a的不等式,同时注意本题中正弦函数的有界性。

解:因为α+β<0,则α<-β,同时α,-β∈[- , ],

根据y=sinx在[- , ]上是增函数,得到sinα<sin(-β)=-sinβ,

所以有 ,解出1<a≤ 。

注:本题主要考察三角函数的值域和灵活应用单调性。

例3.函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=- 对称,那么a的值是多少?

分析:函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x)

解:令f(x)=sin2x+acos2x,根据题意对于任意的x,f(- +x)=f(- -x)恒成立,

即sin(- +2x)+a·cos(- +2x)=sin(- -2x)+a·cos(- -2x)

sin(- +2x)+sin( +2x)=a[cos( +2x)-cos(- +2x)]

(1+a)sin2x=0

要使上式恒成立(不受x取值影响),必须1+a=0,即a=-1。

注:1、是不是有和例1类似的地方?

2、对于选择题,完全可以取关于x=- 对称的两个点代入验证,比如 。

例4.已知方程2sin2x-cos2x+2sinx+m=0有解,求实数m的取值范围。

分析:把变量m单独放在一边,考察另一边的取值范围。

解:由原式得到m=-3sin2x-2sinx+1,

令y=-3sin2x-2sinx+1,则y有最大最小值,只要m在这个范围内,原方程就有解,

再令t=sinx,则-1≤t≤1,求y=-3t2-2t+1的值域。根据二次函数的图象-4≤y≤ ,

即-4≤m≤ 时,原方程有解。

注:把变量分离,单独放在一边也是处理变量的一个技巧。下面例5也用到了。

例5.已知0≤θ≤ ,求使cos2θ+2msinθ-2m-2<0成立的实数m的取值范围。

解:原式即2m(sinθ-1)<1+sin2θ

当sinθ-1=0,即θ= 时,不论m取何值,原式成立,即m∈R.

当sinθ-1≠0,即θ≠ 时,原式即2m> (sinθ-1<0)

令y= ,则y是一个变量,要使2m>y成立,只要2m>y的最大值即可。

下面求y的最大值(0≤sinθ<1 0<1-sinθ≤1)

y=

=sinθ+

=sinθ+1+

=-[(1-sinθ)+ ]+2

∵ (1-sinθ)+ 在1-sinθ=1即θ=0时,取最小值3,

∴ y最大值=-1,2m>-1,m>- ,

所以当θ= 时,m取任意实数,原式都成立,

当0≤θ< 时,m>- 原式都成立。

注意:1、本题是一个综合题,属于较难的题目,考察的知识较多,但要体会变量的思想。

2、求函数y=x+ (a>0)的最值,可根据图像观察在(0,+∞)的图象,如图(是奇函数)。

总结:在例1,3,4,5中都体现了变量的思想,注意体会。例5比较深刻地考察了分类讨论的思想。另外,含参数问题往往和取值范围联系在一起,也就注定了要与不等式联系在一起。

高考精题

1.下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间 上为减函数的是( )。

A、y=cos2x B、y=2|sinx| C、 D、y=-cotx

解:y=cos2x, ,周期是π,在区间 上是增函数,

y=2|sinx|,周期是π,在区间 上是减函数,

,至少可以判断,在区间 上不是减函数,

y=-cotx,在区间 上是增函数,∴应选B。

2.函数y=x+sin|x|, x∈[-π,π]的大致图象是( )。

解:由函数的奇偶性(非奇非偶)及特殊点的坐标先删去A、B、D。∴ 应选C。

3.设函数f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函数,则t的一个可能值是___。

解:画出f(x)=sin2x的草图,不难看出将图像向左水平移 ,就可得到关于y轴对称的图像,

∴ 应填 。

4. 函数y=-xcosx的部分图像是( )。

解:∵ f(x)=-xcosx,∴ f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x),

那么f(x)是奇函数(x∈R),可在B、D中选,

又∵ 设图像上一点 ,在x轴下方,

∴ 应选D。

5.已知函数f(x)=x2+2x·tanθ-1, ,其中 。

(1)当 时,求函数f(x)的最大值与最小值;

(2)求θ的取值范围,使y=f(x)在区间 上是单调函数。

解:(1)当 时, ,

∴ 时,f(x)的最小值为 ,

x=-1时,f(x)的最大值为 。

(2)函数f(x)=(x+tanθ)2-1-tan2θ图像的对称轴为x=-tanθ,

∵ y=f(x)在区间[-1, ]上是单调函数,

∴ -tanθ≤-1或 ,

即tanθ≥1或tanθ≤ ,

因此,θ的取值范围是 。

评注:本题是二次函数与三角函数基本知识的综合题,问题(1)解中,得到二次函数的解析式后,要注意区间端点处的函数值与该函数的最值的正确比较,加以取舍。

第(2)问中,依题设f(x)在区间 上是单调函数,要分类考虑,若是单调递增,则-tanθ≤-1,若是单调递减,则 ,这一步是解题的关键,也是难点。

6.已知函数 x∈R。

(I)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;

(II)该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?

解:(I)

y取得最大值必须且只需

即 k∈Z。

所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为 .

(II)将函数y=sinx依次进行如下变换:

(i)把函数y=sinx的图像向左平移 ,得到函数 的图像;

(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 的图像;

(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变),得到函数 的图像;

(IV)把得到的图像向上平移 个单位长度,得到函数 的图像;

综上得到函数 的图像。

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